Theorem en1uniel 7085

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	|- ( S ~~ 1o -> U. S e. S )

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 7020	. . . 4 |- Rel ~~
2	1	brrelex1i 4816	. . 3 |- ( S ~~ 1o -> S e. _V )
3		uniexg 4583	. . 3 |- ( S e. _V -> U. S e. _V )
4		snidg 3737	. . 3 |- ( U. S e. _V -> U. S e. { U. S } )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( S ~~ 1o -> U. S e. { U. S } )
6		encv 7022	. . . . 5 |- ( S ~~ 1o -> ( S e. _V /\ 1o e. _V ) )
7	6	simpld 112	. . . 4 |- ( S ~~ 1o -> S e. _V )
8		en1bg 7081	. . . 4 |- ( S e. _V -> ( S ~~ 1o <-> S = { U. S } ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( S ~~ 1o -> ( S ~~ 1o <-> S = { U. S } ) )
10	9	ibi 176	. 2 |- ( S ~~ 1o -> S = { U. S } )
11	5, 10	eleqtrrd 2318	1 |- ( S ~~ 1o -> U. S e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3708   U.cuni 3933   class class class wbr 4128   1oc1o 6674   ~~ cen 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6681  df-en 7017

This theorem is referenced by:  en1m  7086  en2eleq  7541  en2other2  7542