Theorem en1uniel 6863

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	|- ( S ~~ 1o -> U. S e. S )

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6803	. . . 4 |- Rel ~~
2	1	brrelex1i 4706	. . 3 |- ( S ~~ 1o -> S e. _V )
3		uniexg 4474	. . 3 |- ( S e. _V -> U. S e. _V )
4		snidg 3651	. . 3 |- ( U. S e. _V -> U. S e. { U. S } )
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( S ~~ 1o -> U. S e. { U. S } )
6		encv 6805	. . . . 5 |- ( S ~~ 1o -> ( S e. _V /\ 1o e. _V ) )
7	6	simpld 112	. . . 4 |- ( S ~~ 1o -> S e. _V )
8		en1bg 6859	. . . 4 |- ( S e. _V -> ( S ~~ 1o <-> S = { U. S } ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( S ~~ 1o -> ( S ~~ 1o <-> S = { U. S } ) )
10	9	ibi 176	. 2 |- ( S ~~ 1o -> S = { U. S } )
11	5, 10	eleqtrrd 2276	1 |- ( S ~~ 1o -> U. S e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3622   U.cuni 3839   class class class wbr 4033   1oc1o 6467   ~~ cen 6797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-en 6800

This theorem is referenced by:  en2eleq  7262  en2other2  7263