ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1uniel Unicode version

Theorem en1uniel 6521
Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1uniel  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )

Proof of Theorem en1uniel
StepHypRef Expression
1 relen 6461 . . . 4  |-  Rel  ~~
21brrelexi 4479 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
3 uniexg 4265 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4 snidg 3473 . . 3  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  e.  { U. S } )
52, 3, 43syl 17 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  { U. S }
)
6 encv 6463 . . . . 5  |-  ( S 
~~  1o  ->  ( S  e.  _V  /\  1o  e.  _V ) )
76simpld 110 . . . 4  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
8 en1bg 6517 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  ~~  1o  <->  S  =  { U. S } ) )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  ( S 
~~  1o  <->  S  =  { U. S } ) )
109ibi 174 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  =  { U. S }
)
115, 10eleqtrrd 2167 1  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3446   U.cuni 3653   class class class wbr 3845   1oc1o 6174    ~~ cen 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-suc 4198  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-en 6458
This theorem is referenced by:  en2eleq  6821  en2other2  6822
  Copyright terms: Public domain W3C validator