ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1uniel Unicode version

Theorem en1uniel 6778
Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en1uniel  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )

Proof of Theorem en1uniel
StepHypRef Expression
1 relen 6718 . . . 4  |-  Rel  ~~
21brrelex1i 4652 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
3 uniexg 4422 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4 snidg 3610 . . 3  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  e.  { U. S } )
52, 3, 43syl 17 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  { U. S }
)
6 encv 6720 . . . . 5  |-  ( S 
~~  1o  ->  ( S  e.  _V  /\  1o  e.  _V ) )
76simpld 111 . . . 4  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  e. 
_V )
8 en1bg 6774 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  ~~  1o  <->  S  =  { U. S } ) )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( S 
~~  1o  ->  ( S 
~~  1o  <->  S  =  { U. S } ) )
109ibi 175 . 2  |-  ( S 
~~  1o  ->  S  =  { U. S }
)
115, 10eleqtrrd 2250 1  |-  ( S 
~~  1o  ->  U. S  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3581   U.cuni 3794   class class class wbr 3987   1oc1o 6385    ~~ cen 6712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1o 6392  df-en 6715
This theorem is referenced by:  en2eleq  7159  en2other2  7160
  Copyright terms: Public domain W3C validator