Theorem isfi 6756

Description: Express " A is finite". Definition 10.29 of [TakeutiZaring] p. 91 (whose " Fin " is a predicate instead of a class). (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
isfi	|- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem isfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fin 6738	. . 3 |- Fin = { y | E. x e. om y ~~ x }
2	1	eleq2i 2244	. 2 |- ( A e. Fin <-> A e. { y | E. x e. om y ~~ x } )
3		relen 6739	. . . . 5 |- Rel ~~
4	3	brrelex1i 4667	. . . 4 |- ( A ~~ x -> A e. _V )
5	4	rexlimivw 2590	. . 3 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. _V )
6		breq1 4004	. . . 4 |- ( y = A -> ( y ~~ x <-> A ~~ x ) )
7	6	rexbidv 2478	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. om y ~~ x <-> E. x e. om A ~~ x ) )
8	5, 7	elab3 2889	. 2 |- ( A e. { y | E. x e. om y ~~ x } <-> E. x e. om A ~~ x )
9	2, 8	bitri 184	1 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   class class class wbr 4001   omcom 4587   ~~ cen 6733   Fincfn 6735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4002  df-opab 4063  df-xp 4630  df-rel 4631  df-en 6736  df-fin 6738

This theorem is referenced by:  snfig  6809  fict  6863  fidceq  6864  nnfi  6867  enfi  6868  ssfilem  6870  dif1enen  6875  php5fin  6877  fisbth  6878  fin0  6880  fin0or  6881  diffitest  6882  findcard  6883  findcard2  6884  findcard2s  6885  diffisn  6888  infnfi  6890  fientri3  6909  unsnfi  6913  unsnfidcex  6914  unsnfidcel  6915  fiintim  6923  fidcenumlemim  6946  finnum  7177  hashcl  10752  hashen  10755  fihashdom  10774  hashun  10776  zfz1iso  10812