Theorem isfi 7000

Description: Express " A is finite". Definition 10.29 of [TakeutiZaring] p. 91 (whose " Fin " is a predicate instead of a class). (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
isfi	|- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem isfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fin 6978	. . 3 |- Fin = { y | E. x e. om y ~~ x }
2	1	eleq2i 2299	. 2 |- ( A e. Fin <-> A e. { y | E. x e. om y ~~ x } )
3		relen 6979	. . . . 5 |- Rel ~~
4	3	brrelex1i 4793	. . . 4 |- ( A ~~ x -> A e. _V )
5	4	rexlimivw 2656	. . 3 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. _V )
6		breq1 4112	. . . 4 |- ( y = A -> ( y ~~ x <-> A ~~ x ) )
7	6	rexbidv 2543	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. om y ~~ x <-> E. x e. om A ~~ x ) )
8	5, 7	elab3 2969	. 2 |- ( A e. { y | E. x e. om y ~~ x } <-> E. x e. om A ~~ x )
9	2, 8	bitri 184	1 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   class class class wbr 4109   omcom 4712   ~~ cen 6973   Fincfn 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-en 6976  df-fin 6978

This theorem is referenced by:  snfig  7056  fict  7123  fidceq  7124  nnfi  7127  enfi  7128  ssfilem  7130  ssfilemd  7132  dif1enen  7137  php5fin  7139  fisbth  7140  fin0  7142  fin0or  7143  diffitest  7144  findcard  7145  findcard2  7146  findcard2s  7147  diffisn  7150  infnfi  7152  fidcen  7156  fientri3  7175  unsnfi  7179  unsnfidcex  7180  unsnfidcel  7181  fiintim  7191  fidcenumlemim  7222  finnum  7479  ficardon  7485  hashcl  11144  hashen  11147  fihashdom  11167  hashun  11169  zfz1iso  11213