Theorem isfi 6408

Description: Express " A is finite." Definition 10.29 of [TakeutiZaring] p. 91 (whose " Fin " is a predicate instead of a class). (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
isfi	|- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem isfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fin 6390	. . 3 |- Fin = { y | E. x e. om y ~~ x }
2	1	eleq2i 2149	. 2 |- ( A e. Fin <-> A e. { y | E. x e. om y ~~ x } )
3		relen 6391	. . . . 5 |- Rel ~~
4	3	brrelexi 4440	. . . 4 |- ( A ~~ x -> A e. _V )
5	4	rexlimivw 2479	. . 3 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. _V )
6		breq1 3814	. . . 4 |- ( y = A -> ( y ~~ x <-> A ~~ x ) )
7	6	rexbidv 2375	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. om y ~~ x <-> E. x e. om A ~~ x ) )
8	5, 7	elab3 2755	. 2 |- ( A e. { y | E. x e. om y ~~ x } <-> E. x e. om A ~~ x )
9	2, 8	bitri 182	1 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   {cab 2069   E.wrex 2354   _Vcvv 2612   class class class wbr 3811   omcom 4368   ~~ cen 6385   Fincfn 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-rel 4408  df-en 6388  df-fin 6390

This theorem is referenced by:  snfig  6461  fict  6514  fidceq  6515  nnfi  6518  enfi  6519  ssfilem  6521  dif1enen  6526  php5fin  6528  fisbth  6529  fin0  6531  fin0or  6532  diffitest  6533  findcard  6534  findcard2  6535  findcard2s  6536  diffisn  6539  infnfi  6541  fientri3  6552  unsnfi  6556  unsnfidcex  6557  unsnfidcel  6558  finnum  6714  hashcl  10024  hashen  10027  fihashdom  10046  hashun  10048