Theorem isfi 6718

Description: Express " A is finite." Definition 10.29 of [TakeutiZaring] p. 91 (whose " Fin " is a predicate instead of a class). (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
isfi	|- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem isfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fin 6700	. . 3 |- Fin = { y | E. x e. om y ~~ x }
2	1	eleq2i 2231	. 2 |- ( A e. Fin <-> A e. { y | E. x e. om y ~~ x } )
3		relen 6701	. . . . 5 |- Rel ~~
4	3	brrelex1i 4641	. . . 4 |- ( A ~~ x -> A e. _V )
5	4	rexlimivw 2577	. . 3 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. _V )
6		breq1 3979	. . . 4 |- ( y = A -> ( y ~~ x <-> A ~~ x ) )
7	6	rexbidv 2465	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. om y ~~ x <-> E. x e. om A ~~ x ) )
8	5, 7	elab3 2873	. 2 |- ( A e. { y | E. x e. om y ~~ x } <-> E. x e. om A ~~ x )
9	2, 8	bitri 183	1 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   {cab 2150   E.wrex 2443   _Vcvv 2721   class class class wbr 3976   omcom 4561   ~~ cen 6695   Fincfn 6697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-rel 4605  df-en 6698  df-fin 6700

This theorem is referenced by:  snfig  6771  fict  6825  fidceq  6826  nnfi  6829  enfi  6830  ssfilem  6832  dif1enen  6837  php5fin  6839  fisbth  6840  fin0  6842  fin0or  6843  diffitest  6844  findcard  6845  findcard2  6846  findcard2s  6847  diffisn  6850  infnfi  6852  fientri3  6871  unsnfi  6875  unsnfidcex  6876  unsnfidcel  6877  fiintim  6885  fidcenumlemim  6908  finnum  7130  hashcl  10683  hashen  10686  fihashdom  10705  hashun  10707  zfz1iso  10740