Theorem isfi 7047

Description: Express " A is finite". Definition 10.29 of [TakeutiZaring] p. 91 (whose " Fin " is a predicate instead of a class). (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
isfi	|- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem isfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fin 7025	. . 3 |- Fin = { y | E. x e. om y ~~ x }
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. Fin <-> A e. { y | E. x e. om y ~~ x } )
3		relen 7026	. . . . 5 |- Rel ~~
4	3	brrelex1i 4818	. . . 4 |- ( A ~~ x -> A e. _V )
5	4	rexlimivw 2664	. . 3 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. _V )
6		breq1 4133	. . . 4 |- ( y = A -> ( y ~~ x <-> A ~~ x ) )
7	6	rexbidv 2551	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. om y ~~ x <-> E. x e. om A ~~ x ) )
8	5, 7	elab3 2978	. 2 |- ( A e. { y | E. x e. om y ~~ x } <-> E. x e. om A ~~ x )
9	2, 8	bitri 184	1 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   class class class wbr 4130   omcom 4737   ~~ cen 7020   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  snfig  7103  fict  7170  fidceq  7171  nnfi  7174  enfi  7175  ssfilem  7177  ssfilemd  7179  dif1enen  7184  php5fin  7186  fisbth  7187  fin0  7189  fin0or  7190  diffitest  7191  findcard  7192  findcard2  7193  findcard2s  7194  diffisn  7197  infnfi  7199  fidcen  7203  fientri3  7222  unsnfi  7226  unsnfidcex  7227  unsnfidcel  7228  fiintim  7238  fidcenumlemim  7269  finnum  7528  ficardon  7534  hashcl  11220  hashen  11223  fihashdom  11243  hashun  11245  zfz1iso  11293