Theorem isfi 7053

Description: Express " A is finite". Definition 10.29 of [TakeutiZaring] p. 91 (whose " Fin " is a predicate instead of a class). (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
isfi	|- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem isfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fin 7031	. . 3 |- Fin = { y | E. x e. om y ~~ x }
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. Fin <-> A e. { y | E. x e. om y ~~ x } )
3		relen 7032	. . . . 5 |- Rel ~~
4	3	brrelex1i 4820	. . . 4 |- ( A ~~ x -> A e. _V )
5	4	rexlimivw 2664	. . 3 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. _V )
6		breq1 4134	. . . 4 |- ( y = A -> ( y ~~ x <-> A ~~ x ) )
7	6	rexbidv 2551	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. om y ~~ x <-> E. x e. om A ~~ x ) )
8	5, 7	elab3 2978	. 2 |- ( A e. { y | E. x e. om y ~~ x } <-> E. x e. om A ~~ x )
9	2, 8	bitri 184	1 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   class class class wbr 4131   omcom 4739   ~~ cen 7026   Fincfn 7028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-en 7029  df-fin 7031

This theorem is used by:  snfig  7109  fict  7176  fidceq  7177  nnfi  7180  enfi  7181  ssfilem  7183  ssfilemd  7185  dif1enen  7190  php5fin  7192  fisbth  7193  fin0  7195  fin0or  7196  diffitest  7197  findcard  7198  findcard2  7199  findcard2s  7200  diffisn  7203  infnfi  7205  fidcen  7209  fientri3  7228  unsnfi  7232  unsnfidcex  7233  unsnfidcel  7234  fiintim  7244  fidcenumlemim  7276  finnum  7534  ficardon  7540  hashcl  11241  hashen  11244  fihashdom  11264  hashun  11266  zfz1iso  11314