Theorem mpo2eqb 6162

Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnov2 6160. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
mpo2eqb	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B C = D ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   D( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem mpo2eqb

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mpo 6054	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
2		df-mpo 6054	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> D ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) }
3	1, 2	eqeq12i 2246	. . 3 |- ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) } )
4		eqoprab2b 6110	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) } <-> A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
5		pm5.32 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
6	5	albii 1519	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
7		19.21v 1922	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
8	6, 7	bitr3i 186	. . . . 5 |- ( A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
9	8	2albii 1520	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
10		r2al 2561	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
11	9, 10	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) )
12	3, 4, 11	3bitri 206	. 2 |- ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) )
13		pm13.183 2954	. . . . . 6 |- ( C e. V -> ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
14	13	ralimi 2605	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
15		ralbi 2675	. . . . 5 |- ( A. y e. B ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) -> ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
17	16	ralimi 2605	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
18		ralbi 2675	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) -> ( A. x e. A A. y e. B C = D <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. x e. A A. y e. B C = D <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
20	12, 19	bitr4id 199	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B C = D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {coprab 6050   e. cmpo 6051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-oprab 6053  df-mpo 6054

This theorem is referenced by: (None)