Theorem mpo2eqb 5832

Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnov2 5830. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
mpo2eqb	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B C = D ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   D( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem mpo2eqb

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm13.183 2790	. . . . . 6 |- ( C e. V -> ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
2	1	ralimi 2467	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
3		ralbi 2536	. . . . 5 |- ( A. y e. B ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) -> ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
5	4	ralimi 2467	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
6		ralbi 2536	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) -> ( A. x e. A A. y e. B C = D <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. x e. A A. y e. B C = D <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
8		df-mpo 5731	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
9		df-mpo 5731	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> D ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) }
10	8, 9	eqeq12i 2126	. . 3 |- ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) } )
11		eqoprab2b 5781	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) } <-> A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
12		pm5.32 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
13	12	albii 1427	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
14		19.21v 1825	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
15	13, 14	bitr3i 185	. . . . 5 |- ( A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
16	15	2albii 1428	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
17		r2al 2426	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
18	16, 17	bitr4i 186	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) )
19	10, 11, 18	3bitri 205	. 2 |- ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) )
20	7, 19	syl6rbbr 198	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B C = D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1310   = wceq 1312   e. wcel 1461   A.wral 2388   {coprab 5727   e. cmpo 5728

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-setind 4410

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-oprab 5730  df-mpo 5731

This theorem is referenced by: (None)