Theorem mpo2eqb 5942

Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnov2 5940. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
mpo2eqb	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B C = D ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   D( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem mpo2eqb

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mpo 5841	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
2		df-mpo 5841	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> D ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) }
3	1, 2	eqeq12i 2178	. . 3 |- ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) } )
4		eqoprab2b 5891	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) } <-> A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
5		pm5.32 449	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
6	5	albii 1457	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) )
7		19.21v 1860	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = C <-> z = D ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
8	6, 7	bitr3i 185	. . . . 5 |- ( A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
9	8	2albii 1458	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
10		r2al 2483	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
11	9, 10	bitr4i 186	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = D ) ) <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) )
12	3, 4, 11	3bitri 205	. 2 |- ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) )
13		pm13.183 2859	. . . . . 6 |- ( C e. V -> ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
14	13	ralimi 2527	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
15		ralbi 2596	. . . . 5 |- ( A. y e. B ( C = D <-> A. z ( z = C <-> z = D ) ) -> ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
17	16	ralimi 2527	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
18		ralbi 2596	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. y e. B C = D <-> A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) -> ( A. x e. A A. y e. B C = D <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. x e. A A. y e. B C = D <-> A. x e. A A. y e. B A. z ( z = C <-> z = D ) ) )
20	12, 19	bitr4id 198	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. A , y e. B |-> D ) <-> A. x e. A A. y e. B C = D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1340   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   {coprab 5837   e. cmpo 5838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-oprab 5840  df-mpo 5841

This theorem is referenced by: (None)