ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqoprab2b GIF version

Theorem eqoprab2b 5707
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4106. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2b ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))

Proof of Theorem eqoprab2b
StepHypRef Expression
1 ssoprab2b 5706 . . 3 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
2 ssoprab2b 5706 . . 3 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑))
31, 2anbi12i 448 . 2 (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
4 eqss 3040 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}))
5 2albiim 1422 . . . 4 (∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ (∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
65albii 1404 . . 3 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
7 19.26 1415 . . 3 (∀𝑥(∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
86, 7bitri 182 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
93, 4, 83bitr4i 210 1 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1287   = wceq 1289  wss 2999  {coprab 5653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-oprab 5656
This theorem is referenced by:  mpt22eqb  5754
  Copyright terms: Public domain W3C validator