ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqoprab2b GIF version

Theorem eqoprab2b 5911
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4264. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2b ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))

Proof of Theorem eqoprab2b
StepHypRef Expression
1 ssoprab2b 5910 . . 3 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
2 ssoprab2b 5910 . . 3 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑))
31, 2anbi12i 457 . 2 (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
4 eqss 3162 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}))
5 2albiim 1481 . . . 4 (∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ (∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
65albii 1463 . . 3 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
7 19.26 1474 . . 3 (∀𝑥(∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
86, 7bitri 183 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
93, 4, 83bitr4i 211 1 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wal 1346   = wceq 1348  wss 3121  {coprab 5854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-oprab 5857
This theorem is referenced by:  mpo2eqb  5962
  Copyright terms: Public domain W3C validator