ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrelrel GIF version

Theorem eqrelrel 4710
Description: Extensionality principle for ordered triples, analogous to eqrel 4698. Use relrelss 5135 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
eqrelrel ((𝐴𝐵) ⊆ ((V × V) × V) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem eqrelrel
StepHypRef Expression
1 unss 3301 . 2 ((𝐴 ⊆ ((V × V) × V) ∧ 𝐵 ⊆ ((V × V) × V)) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ ((V × V) × V))
2 ssrelrel 4709 . . . 4 (𝐴 ⊆ ((V × V) × V) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
3 ssrelrel 4709 . . . 4 (𝐵 ⊆ ((V × V) × V) → (𝐵𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
42, 3bi2anan9 601 . . 3 ((𝐴 ⊆ ((V × V) × V) ∧ 𝐵 ⊆ ((V × V) × V)) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴))))
5 eqss 3162 . . 3 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
6 2albiim 1481 . . . . 5 (∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
76albii 1463 . . . 4 (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
8 19.26 1474 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
97, 8bitri 183 . . 3 (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
104, 5, 93bitr4g 222 . 2 ((𝐴 ⊆ ((V × V) × V) ∧ 𝐵 ⊆ ((V × V) × V)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
111, 10sylbir 134 1 ((𝐴𝐵) ⊆ ((V × V) × V) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wal 1346   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  cun 3119  wss 3121  cop 3584   × cxp 4607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-opab 4049  df-xp 4615
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator