ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrelrel GIF version

Theorem eqrelrel 4745
Description: Extensionality principle for ordered triples, analogous to eqrel 4733. Use relrelss 5173 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
eqrelrel ((𝐴𝐵) ⊆ ((V × V) × V) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem eqrelrel
StepHypRef Expression
1 unss 3324 . 2 ((𝐴 ⊆ ((V × V) × V) ∧ 𝐵 ⊆ ((V × V) × V)) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ ((V × V) × V))
2 ssrelrel 4744 . . . 4 (𝐴 ⊆ ((V × V) × V) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
3 ssrelrel 4744 . . . 4 (𝐵 ⊆ ((V × V) × V) → (𝐵𝐴 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
42, 3bi2anan9 606 . . 3 ((𝐴 ⊆ ((V × V) × V) ∧ 𝐵 ⊆ ((V × V) × V)) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴))))
5 eqss 3185 . . 3 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
6 2albiim 1499 . . . . 5 (∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
76albii 1481 . . . 4 (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
8 19.26 1492 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
97, 8bitri 184 . . 3 (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
104, 5, 93bitr4g 223 . 2 ((𝐴 ⊆ ((V × V) × V) ∧ 𝐵 ⊆ ((V × V) × V)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
111, 10sylbir 135 1 ((𝐴𝐵) ⊆ ((V × V) × V) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wal 1362   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752  cun 3142  wss 3144  cop 3610   × cxp 4642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080  df-xp 4650
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator