Theorem eqrelrel 4760

Description: Extensionality principle for ordered triples, analogous to eqrel 4748. Use relrelss 5192 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
eqrelrel	⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((V × V) × V) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem eqrelrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unss 3333	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ((V × V) × V) ∧ 𝐵 ⊆ ((V × V) × V)) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((V × V) × V))
2		ssrelrel 4759	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ((V × V) × V) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
3		ssrelrel 4759	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ((V × V) × V) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
4	2, 3	bi2anan9 606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ((V × V) × V) ∧ 𝐵 ⊆ ((V × V) × V)) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴))))
5		eqss 3194	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
6		2albiim 1499	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
7	6	albii 1481	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
8		19.26 1492	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)) ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
9	7, 8	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)))
10	4, 5, 9	3bitr4g 223	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ((V × V) × V) ∧ 𝐵 ⊆ ((V × V) × V)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))
11	1, 10	sylbir 135	1 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ((V × V) × V) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∪ cun 3151   ⊆ wss 3153  ⟨cop 3621   × cxp 4657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665

This theorem is referenced by: (None)