Theorem erexb 6562

Description: An equivalence relation is a set if and only if its domain is a set. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
erexb	|- ( R Er A -> ( R e. _V <-> A e. _V ) )

Proof of Theorem erexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 4893	. . 3 |- ( R e. _V -> dom R e. _V )
2		erdm 6547	. . . 4 |- ( R Er A -> dom R = A )
3	2	eleq1d 2246	. . 3 |- ( R Er A -> ( dom R e. _V <-> A e. _V ) )
4	1, 3	imbitrid 154	. 2 |- ( R Er A -> ( R e. _V -> A e. _V ) )
5		erex 6561	. 2 |- ( R Er A -> ( A e. _V -> R e. _V ) )
6	4, 5	impbid 129	1 |- ( R Er A -> ( R e. _V <-> A e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   dom cdm 4628   Er wer 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-er 6537

This theorem is referenced by: (None)