Theorem erexb 6517

Description: An equivalence relation is a set if and only if its domain is a set. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
erexb	|- ( R Er A -> ( R e. _V <-> A e. _V ) )

Proof of Theorem erexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 4862	. . 3 |- ( R e. _V -> dom R e. _V )
2		erdm 6502	. . . 4 |- ( R Er A -> dom R = A )
3	2	eleq1d 2233	. . 3 |- ( R Er A -> ( dom R e. _V <-> A e. _V ) )
4	1, 3	syl5ib 153	. 2 |- ( R Er A -> ( R e. _V -> A e. _V ) )
5		erex 6516	. 2 |- ( R Er A -> ( A e. _V -> R e. _V ) )
6	4, 5	impbid 128	1 |- ( R Er A -> ( R e. _V <-> A e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   dom cdm 4598   Er wer 6489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-dm 4608  df-rn 4609  df-er 6492

This theorem is referenced by: (None)