Theorem erex 6578

Description: An equivalence relation is a set if its domain is a set. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
erex	|- ( R Er A -> ( A e. V -> R e. _V ) )

Proof of Theorem erex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erssxp 6577	. . 3 |- ( R Er A -> R C_ ( A X. A ) )
2		xpexg 4755	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A e. V ) -> ( A X. A ) e. _V )
3	2	anidms 397	. . 3 |- ( A e. V -> ( A X. A ) e. _V )
4		ssexg 4157	. . 3 |- ( ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A X. A ) e. _V ) -> R e. _V )
5	1, 3, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( R Er A /\ A e. V ) -> R e. _V )
6	5	ex 115	1 |- ( R Er A -> ( A e. V -> R e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   X. cxp 4639   Er wer 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-dm 4651  df-rn 4652  df-er 6554

This theorem is referenced by:  erexb  6579  qliftlem  6634  qusaddvallemg  12802  qusaddflemg  12803  qusaddval  12804  qusaddf  12805  qusmulval  12806  qusmulf  12807  qusgrp2  13048  eqgen  13159  qusrng  13305  qusring2  13409