Theorem erex 6721

Description: An equivalence relation is a set if its domain is a set. (Contributed by Rodolfo Medina, 15-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
erex	|- ( R Er A -> ( A e. V -> R e. _V ) )

Proof of Theorem erex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erssxp 6720	. . 3 |- ( R Er A -> R C_ ( A X. A ) )
2		xpexg 4838	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A e. V ) -> ( A X. A ) e. _V )
3	2	anidms 397	. . 3 |- ( A e. V -> ( A X. A ) e. _V )
4		ssexg 4226	. . 3 |- ( ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A X. A ) e. _V ) -> R e. _V )
5	1, 3, 4	syl2an 289	. 2 |- ( ( R Er A /\ A e. V ) -> R e. _V )
6	5	ex 115	1 |- ( R Er A -> ( A e. V -> R e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   X. cxp 4721   Er wer 6694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-er 6697

This theorem is referenced by:  erexb  6722  qliftlem  6777  qusaddvallemg  13406  qusaddflemg  13407  qusaddval  13408  qusaddf  13409  qusmulval  13410  qusmulf  13411  qusgrp2  13690  eqgen  13804  qusrng  13961  qusring2  14069