Theorem f10d 5566

Description: The empty set maps one-to-one into any class, deduction version. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f10d.f	|- ( ph -> F = (/) )

Assertion

Ref	Expression
f10d	|- ( ph -> F : dom F -1-1-> A )

Proof of Theorem f10d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 5565	. . 3 |- (/) : (/) -1-1-> A
2		dm0 4898	. . . 4 |- dom (/) = (/)
3		f1eq2 5486	. . . 4 |- ( dom (/) = (/) -> ( (/) : dom (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( (/) : dom (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A )
5	1, 4	mpbir 146	. 2 |- (/) : dom (/) -1-1-> A
6		f10d.f	. . 3 |- ( ph -> F = (/) )
7	6	dmeqd 4886	. . 3 |- ( ph -> dom F = dom (/) )
8		eqidd 2207	. . 3 |- ( ph -> A = A )
9	6, 7, 8	f1eq123d 5523	. 2 |- ( ph -> ( F : dom F -1-1-> A <-> (/) : dom (/) -1-1-> A ) )
10	5, 9	mpbiri 168	1 |- ( ph -> F : dom F -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   (/)c0 3462   dom cdm 4680   -1-1->wf1 5274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282

This theorem is referenced by:  umgr0e  15761