Theorem f10d 5649

Description: The empty set maps one-to-one into any class, deduction version. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f10d.f	|- ( ph -> F = (/) )

Assertion

Ref	Expression
f10d	|- ( ph -> F : dom F -1-1-> A )

Proof of Theorem f10d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 5648	. . 3 |- (/) : (/) -1-1-> A
2		dm0 4969	. . . 4 |- dom (/) = (/)
3		f1eq2 5568	. . . 4 |- ( dom (/) = (/) -> ( (/) : dom (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( (/) : dom (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A )
5	1, 4	mpbir 146	. 2 |- (/) : dom (/) -1-1-> A
6		f10d.f	. . 3 |- ( ph -> F = (/) )
7	6	dmeqd 4957	. . 3 |- ( ph -> dom F = dom (/) )
8		eqidd 2233	. . 3 |- ( ph -> A = A )
9	6, 7, 8	f1eq123d 5605	. 2 |- ( ph -> ( F : dom F -1-1-> A <-> (/) : dom (/) -1-1-> A ) )
10	5, 9	mpbiri 168	1 |- ( ph -> F : dom F -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   (/)c0 3507   dom cdm 4748   -1-1->wf1 5348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356

This theorem is referenced by:  umgr0e  16105  usgr0e  16219