Theorem f10d 5619

Description: The empty set maps one-to-one into any class, deduction version. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f10d.f	|- ( ph -> F = (/) )

Assertion

Ref	Expression
f10d	|- ( ph -> F : dom F -1-1-> A )

Proof of Theorem f10d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 5618	. . 3 |- (/) : (/) -1-1-> A
2		dm0 4945	. . . 4 |- dom (/) = (/)
3		f1eq2 5538	. . . 4 |- ( dom (/) = (/) -> ( (/) : dom (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( (/) : dom (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A )
5	1, 4	mpbir 146	. 2 |- (/) : dom (/) -1-1-> A
6		f10d.f	. . 3 |- ( ph -> F = (/) )
7	6	dmeqd 4933	. . 3 |- ( ph -> dom F = dom (/) )
8		eqidd 2232	. . 3 |- ( ph -> A = A )
9	6, 7, 8	f1eq123d 5575	. 2 |- ( ph -> ( F : dom F -1-1-> A <-> (/) : dom (/) -1-1-> A ) )
10	5, 9	mpbiri 168	1 |- ( ph -> F : dom F -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   (/)c0 3494   dom cdm 4725   -1-1->wf1 5323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331

This theorem is referenced by:  umgr0e  15975  usgr0e  16089