Theorem f10d 5603

Description: The empty set maps one-to-one into any class, deduction version. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f10d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∅)

Assertion

Ref	Expression
f10d	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)

Proof of Theorem f10d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 5602	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
2		dm0 4934	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		f1eq2 5523	. . . 4 ⊢ (dom ∅ = ∅ → (∅:dom ∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴)
5	1, 4	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅:dom ∅–1-1→𝐴
6		f10d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∅)
7	6	dmeqd 4922	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = dom ∅)
8		eqidd 2230	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
9	6, 7, 8	f1eq123d 5560	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ↔ ∅:dom ∅–1-1→𝐴))
10	5, 9	mpbiri 168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∅c0 3491  dom cdm 4716  –1-1→wf1 5311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319

This theorem is referenced by:  umgr0e  15903