Theorem f10d 5628

Description: The empty set maps one-to-one into any class, deduction version. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f10d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∅)

Assertion

Ref	Expression
f10d	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)

Proof of Theorem f10d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 5627	. . 3 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐴
2		dm0 4951	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		f1eq2 5547	. . . 4 ⊢ (dom ∅ = ∅ → (∅:dom ∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅–1-1→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1→𝐴)
5	1, 4	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅:dom ∅–1-1→𝐴
6		f10d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∅)
7	6	dmeqd 4939	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = dom ∅)
8		eqidd 2232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
9	6, 7, 8	f1eq123d 5584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ↔ ∅:dom ∅–1-1→𝐴))
10	5, 9	mpbiri 168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∅c0 3496  dom cdm 4731  –1-1→wf1 5330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338

This theorem is referenced by:  umgr0e  16039  usgr0e  16153