Theorem usgr0e 16051

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgr0e.g	|- ( ph -> G e. W )
usgr0e.e	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
usgr0e	|- ( ph -> G e. USGraph )

Proof of Theorem usgr0e

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr0e.e	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = (/) )
2	1	f10d 5612	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } )
3		usgr0e.g	. . 3 |- ( ph -> G e. W )
4		eqid 2229	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
5		eqid 2229	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
6	4, 5	isusgren 15977	. . 3 |- ( G e. W -> ( G e. USGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } ) )
7	3, 6	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( G e. USGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } ) )
8	2, 7	mpbird 167	1 |- ( ph -> G e. USGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   (/)c0 3491   ~Pcpw 3649   class class class wbr 4083   dom cdm 4720   -1-1->wf1 5318   ` cfv 5321   2oc2o 6567   ~~ cen 6898  Vtxcvtx 15834  iEdgciedg 15835  USGraphcusgr 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-usgren 15975

This theorem is referenced by:  usgr0vb  16052  uhgr0vusgr  16057  usgr0eop  16061  edg0usgr  16066  griedg0ssusgr  16070