Theorem dm0 4937

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3510	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> A. x -. x e. dom (/) )
2		noel 3495	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
3	2	nex 1546	. . 3 |- -. E. y <. x , y >. e. (/)
4		vex 2802	. . . 4 |- x e. _V
5	4	eldm2 4921	. . 3 |- ( x e. dom (/) <-> E. y <. x , y >. e. (/) )
6	3, 5	mtbir 675	. 2 |- -. x e. dom (/)
7	1, 6	mpgbir 1499	1 |- dom (/) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   (/)c0 3491   <.cop 3669   dom cdm 4719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-nul 3492  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-dm 4729

This theorem is referenced by:  rn0  4980  sqxpeq0  5152  fn0  5443  f0dom0  5519  f10d  5607  f1o00  5608  rdg0  6533  frec0g  6543  swrd0g  11192  ennnfonelemj0  12972  ennnfonelem1  12978  ennnfonelemkh  12983  ennnfonelemhf1o  12984  uhgr0e  15882  uhgr0  15885