Theorem dm0 4970

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3527	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> A. x -. x e. dom (/) )
2		noel 3512	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
3	2	nex 1549	. . 3 |- -. E. y <. x , y >. e. (/)
4		vex 2816	. . . 4 |- x e. _V
5	4	eldm2 4954	. . 3 |- ( x e. dom (/) <-> E. y <. x , y >. e. (/) )
6	3, 5	mtbir 678	. 2 |- -. x e. dom (/)
7	1, 6	mpgbir 1502	1 |- dom (/) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   (/)c0 3508   <.cop 3692   dom cdm 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-nul 3509  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-dm 4759

This theorem is referenced by:  rn0  5013  sqxpeq0  5186  fn0  5478  f0dom0  5561  f10d  5650  f1o00  5651  supp0  6438  rdg0  6618  frec0g  6628  swrd0g  11352  ennnfonelemj0  13152  ennnfonelem1  13158  ennnfonelemkh  13163  ennnfonelemhf1o  13164  uhgr0e  16077  uhgr0  16080  usgr0  16234  egrsubgr  16258  0grsubgr  16259  vtxdgfi0e  16290