Theorem dm0 4997

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3540	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> A. x -. x e. dom (/) )
2		noel 3525	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
3	2	nex 1553	. . 3 |- -. E. y <. x , y >. e. (/)
4		vex 2824	. . . 4 |- x e. _V
5	4	eldm2 4981	. . 3 |- ( x e. dom (/) <-> E. y <. x , y >. e. (/) )
6	3, 5	mtbir 682	. 2 |- -. x e. dom (/)
7	1, 6	mpgbir 1506	1 |- dom (/) = (/)

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   (/)c0 3520   <.cop 3712   dom cdm 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-nul 3521  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-dm 4786

This theorem is used by:  rn0  5040  sqxpeq0  5214  fn0  5506  f0dom0  5589  f10d  5678  f1o00  5679  supp0  6482  rdg0  6662  frec0g  6672  swrd0g  11454  ennnfonelemj0  13350  ennnfonelem1  13356  ennnfonelemkh  13361  ennnfonelemhf1o  13362  gsum2d2fi  14274  uhgr0e  16528  uhgr0  16531  usgr0  16685  egrsubgr  16709  0grsubgr  16710  vtxdgfi0e  16741