Theorem dm0 4818

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3427	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> A. x -. x e. dom (/) )
2		noel 3413	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
3	2	nex 1488	. . 3 |- -. E. y <. x , y >. e. (/)
4		vex 2729	. . . 4 |- x e. _V
5	4	eldm2 4802	. . 3 |- ( x e. dom (/) <-> E. y <. x , y >. e. (/) )
6	3, 5	mtbir 661	. 2 |- -. x e. dom (/)
7	1, 6	mpgbir 1441	1 |- dom (/) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   (/)c0 3409   <.cop 3579   dom cdm 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-dm 4614

This theorem is referenced by:  rn0  4860  sqxpeq0  5027  fn0  5307  f0dom0  5381  f1o00  5467  rdg0  6355  frec0g  6365  ennnfonelemj0  12334  ennnfonelem1  12340  ennnfonelemkh  12345  ennnfonelemhf1o  12346