Theorem dm0 4825

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3433	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> A. x -. x e. dom (/) )
2		noel 3418	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
3	2	nex 1493	. . 3 |- -. E. y <. x , y >. e. (/)
4		vex 2733	. . . 4 |- x e. _V
5	4	eldm2 4809	. . 3 |- ( x e. dom (/) <-> E. y <. x , y >. e. (/) )
6	3, 5	mtbir 666	. 2 |- -. x e. dom (/)
7	1, 6	mpgbir 1446	1 |- dom (/) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   (/)c0 3414   <.cop 3586   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-dm 4621

This theorem is referenced by:  rn0  4867  sqxpeq0  5034  fn0  5317  f0dom0  5391  f1o00  5477  rdg0  6366  frec0g  6376  ennnfonelemj0  12356  ennnfonelem1  12362  ennnfonelemkh  12367  ennnfonelemhf1o  12368