Theorem dm0 4911

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3487	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> A. x -. x e. dom (/) )
2		noel 3472	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
3	2	nex 1524	. . 3 |- -. E. y <. x , y >. e. (/)
4		vex 2779	. . . 4 |- x e. _V
5	4	eldm2 4895	. . 3 |- ( x e. dom (/) <-> E. y <. x , y >. e. (/) )
6	3, 5	mtbir 673	. 2 |- -. x e. dom (/)
7	1, 6	mpgbir 1477	1 |- dom (/) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   (/)c0 3468   <.cop 3646   dom cdm 4693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-nul 3469  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-dm 4703

This theorem is referenced by:  rn0  4953  sqxpeq0  5125  fn0  5415  f0dom0  5491  f10d  5579  f1o00  5580  rdg0  6496  frec0g  6506  swrd0g  11151  ennnfonelemj0  12887  ennnfonelem1  12893  ennnfonelemkh  12898  ennnfonelemhf1o  12899  uhgr0e  15793  uhgr0  15796