Theorem dm0 4892

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3479	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> A. x -. x e. dom (/) )
2		noel 3464	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
3	2	nex 1523	. . 3 |- -. E. y <. x , y >. e. (/)
4		vex 2775	. . . 4 |- x e. _V
5	4	eldm2 4876	. . 3 |- ( x e. dom (/) <-> E. y <. x , y >. e. (/) )
6	3, 5	mtbir 673	. 2 |- -. x e. dom (/)
7	1, 6	mpgbir 1476	1 |- dom (/) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   (/)c0 3460   <.cop 3636   dom cdm 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-nul 3461  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-dm 4685

This theorem is referenced by:  rn0  4934  sqxpeq0  5106  fn0  5395  f0dom0  5469  f1o00  5557  rdg0  6473  frec0g  6483  swrd0g  11113  ennnfonelemj0  12772  ennnfonelem1  12778  ennnfonelemkh  12783  ennnfonelemhf1o  12784