Theorem dm0 4753

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3381	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> A. x -. x e. dom (/) )
2		noel 3367	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
3	2	nex 1476	. . 3 |- -. E. y <. x , y >. e. (/)
4		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
5	4	eldm2 4737	. . 3 |- ( x e. dom (/) <-> E. y <. x , y >. e. (/) )
6	3, 5	mtbir 660	. 2 |- -. x e. dom (/)
7	1, 6	mpgbir 1429	1 |- dom (/) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   (/)c0 3363   <.cop 3530   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-nul 3364  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  rn0  4795  sqxpeq0  4962  fn0  5242  f0dom0  5316  f1o00  5402  rdg0  6284  frec0g  6294  ennnfonelemj0  11914  ennnfonelem1  11920  ennnfonelemkh  11925  ennnfonelemhf1o  11926