Theorem dm0 4943

Description: The domain of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dm0	|- dom (/) = (/)

Proof of Theorem dm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3511	. 2 |- ( dom (/) = (/) <-> A. x -. x e. dom (/) )
2		noel 3496	. . . 4 |- -. <. x , y >. e. (/)
3	2	nex 1546	. . 3 |- -. E. y <. x , y >. e. (/)
4		vex 2803	. . . 4 |- x e. _V
5	4	eldm2 4927	. . 3 |- ( x e. dom (/) <-> E. y <. x , y >. e. (/) )
6	3, 5	mtbir 675	. 2 |- -. x e. dom (/)
7	1, 6	mpgbir 1499	1 |- dom (/) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   (/)c0 3492   <.cop 3670   dom cdm 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-nul 3493  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-dm 4733

This theorem is referenced by:  rn0  4986  sqxpeq0  5158  fn0  5449  f0dom0  5527  f10d  5615  f1o00  5616  rdg0  6548  frec0g  6558  swrd0g  11231  ennnfonelemj0  13012  ennnfonelem1  13018  ennnfonelemkh  13023  ennnfonelemhf1o  13024  uhgr0e  15923  uhgr0  15926  usgr0  16078  vtxdgfi0e  16101