Theorem umgr0e 16105

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a multigraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr0e.g	|- ( ph -> G e. W )
umgr0e.e	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
umgr0e	|- ( ph -> G e. UMGraph )

Proof of Theorem umgr0e

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr0e.e	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = (/) )
2	1	f10d 5649	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } )
3		f1f 5572	. . 3 |- ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } )
5		umgr0e.g	. . 3 |- ( ph -> G e. W )
6		eqid 2232	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
7		eqid 2232	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
8	6, 7	isumgren 16092	. . 3 |- ( G e. W -> ( G e. UMGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } ) )
9	5, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( G e. UMGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } ) )
10	4, 9	mpbird 167	1 |- ( ph -> G e. UMGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   (/)c0 3507   ~Pcpw 3668   class class class wbr 4108   dom cdm 4748   -->wf 5347   -1-1->wf1 5348   ` cfv 5351   2oc2o 6640   ~~ cen 6972  Vtxcvtx 15999  iEdgciedg 16000  UMGraphcumgr 16079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-sub 8445  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-dec 9709  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-edgf 15992  df-vtx 16001  df-iedg 16002  df-umgren 16081

This theorem is referenced by:  upgr0e  16106