Theorem f1oprg 5665

Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷}))

Proof of Theorem f1oprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5662	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
3		f1osng 5662	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → {⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐶}–1-1-onto→{𝐷})
4	3	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐶}–1-1-onto→{𝐷})
5		disjsn2 3757	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
6	5	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
7		disjsn2 3757	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
8	7	ad2antll 491	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
9		f1oun 5639	. . . 4 ⊢ ((({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} ∧ {⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐶}–1-1-onto→{𝐷}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}):({𝐴} ∪ {𝐶})–1-1-onto→({𝐵} ∪ {𝐷}))
10	2, 4, 6, 8, 9	syl22anc 1275	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}):({𝐴} ∪ {𝐶})–1-1-onto→({𝐵} ∪ {𝐷}))
11		df-pr 3701	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩})
12	11	eqcomi 2238	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
14		df-pr 3701	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐶} = ({𝐴} ∪ {𝐶})
15	14	eqcomi 2238	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐶}
16	15	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐶})
17		df-pr 3701	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐷} = ({𝐵} ∪ {𝐷})
18	17	eqcomi 2238	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∪ {𝐷}) = {𝐵, 𝐷}
19	18	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∪ {𝐷}) = {𝐵, 𝐷})
20	13, 16, 19	f1oeq123d 5613	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}):({𝐴} ∪ {𝐶})–1-1-onto→({𝐵} ∪ {𝐷}) ↔ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷}))
21	10, 20	mpbid 147	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷})
22	21	ex 115	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ∪ cun 3212   ∩ cin 3213  ∅c0 3512  {csn 3694  {cpr 3695  ⟨cop 3697  –1-1-onto→wf1o 5356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364

This theorem is referenced by:  en2prd  7072