Theorem fdmeu 5719

Description: There is exactly one codomain element for each element of the domain of a function. (Contributed by AV, 20-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fdmeu	|- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> E! y e. B ( F ` X ) = y )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, F   y, X

Proof of Theorem fdmeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feu 5548	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> E! y e. B <. X , y >. e. F )
2		ffn 5507	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3	2	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> ( F Fn A /\ X e. A ) )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> B /\ X e. A ) /\ y e. B ) -> ( F Fn A /\ X e. A ) )
5		fnopfvb 5715	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F ` X ) = y <-> <. X , y >. e. F ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( F : A --> B /\ X e. A ) /\ y e. B ) -> ( ( F ` X ) = y <-> <. X , y >. e. F ) )
7	6	reubidva 2727	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> ( E! y e. B ( F ` X ) = y <-> E! y e. B <. X , y >. e. F ) )
8	1, 7	mpbird 167	1 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> E! y e. B ( F ` X ) = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   E!wreu 2522   <.cop 3691   Fn wfn 5346   -->wf 5347   ` cfv 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359

This theorem is referenced by:  uspgriedgedg  16161