Theorem fdmeu 5647

Description: There is exactly one codomain element for each element of the domain of a function. (Contributed by AV, 20-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fdmeu	|- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> E! y e. B ( F ` X ) = y )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, F   y, X

Proof of Theorem fdmeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feu 5481	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> E! y e. B <. X , y >. e. F )
2		ffn 5446	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3	2	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> ( F Fn A /\ X e. A ) )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> B /\ X e. A ) /\ y e. B ) -> ( F Fn A /\ X e. A ) )
5		fnopfvb 5644	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F ` X ) = y <-> <. X , y >. e. F ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( F : A --> B /\ X e. A ) /\ y e. B ) -> ( ( F ` X ) = y <-> <. X , y >. e. F ) )
7	6	reubidva 2693	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> ( E! y e. B ( F ` X ) = y <-> E! y e. B <. X , y >. e. F ) )
8	1, 7	mpbird 167	1 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> E! y e. B ( F ` X ) = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   E!wreu 2488   <.cop 3647   Fn wfn 5286   -->wf 5287   ` cfv 5291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-v 2779  df-sbc 3007  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-fv 5299

This theorem is referenced by:  uspgriedgedg  15934