Theorem fdmeu 5677

Description: There is exactly one codomain element for each element of the domain of a function. (Contributed by AV, 20-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fdmeu	|- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> E! y e. B ( F ` X ) = y )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, F   y, X

Proof of Theorem fdmeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feu 5508	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> E! y e. B <. X , y >. e. F )
2		ffn 5473	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3	2	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> ( F Fn A /\ X e. A ) )
4	3	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> B /\ X e. A ) /\ y e. B ) -> ( F Fn A /\ X e. A ) )
5		fnopfvb 5673	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ X e. A ) -> ( ( F ` X ) = y <-> <. X , y >. e. F ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( F : A --> B /\ X e. A ) /\ y e. B ) -> ( ( F ` X ) = y <-> <. X , y >. e. F ) )
7	6	reubidva 2715	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> ( E! y e. B ( F ` X ) = y <-> E! y e. B <. X , y >. e. F ) )
8	1, 7	mpbird 167	1 |- ( ( F : A --> B /\ X e. A ) -> E! y e. B ( F ` X ) = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   <.cop 3669   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  uspgriedgedg  15977