Theorem feu 5313

Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
feu	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Distinct variable groups:   y, F   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5280	. . . 4 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fneu2 5236	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
3	1, 2	sylan 281	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
4		opelf 5302	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> ( C e. A /\ y e. B ) )
5	4	simprd 113	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> y e. B )
6	5	ex 114	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 392	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F <-> ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
8	7	eubidv 2008	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
9	8	adantr 274	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
10	3, 9	mpbid 146	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
11		df-reu 2424	. 2 |- ( E! y e. B <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
12	10, 11	sylibr 133	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   E!weu 2000   E!wreu 2419   <.cop 3535   Fn wfn 5126   -->wf 5127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135

This theorem is referenced by:  fsn  5600  f1ofveu  5770