Theorem feu 5437

Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
feu	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Distinct variable groups:   y, F   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5404	. . . 4 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fneu2 5360	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
4		opelf 5426	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> ( C e. A /\ y e. B ) )
5	4	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> y e. B )
6	5	ex 115	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 394	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F <-> ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
8	7	eubidv 2050	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
10	3, 9	mpbid 147	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
11		df-reu 2479	. 2 |- ( E! y e. B <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
12	10, 11	sylibr 134	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E!weu 2042   e. wcel 2164   E!wreu 2474   <.cop 3622   Fn wfn 5250   -->wf 5251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259

This theorem is referenced by:  fsn  5731  f1ofveu  5907