Theorem feu 5507

Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
feu	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Distinct variable groups:   y, F   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5472	. . . 4 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fneu2 5427	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
4		opelf 5495	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> ( C e. A /\ y e. B ) )
5	4	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> y e. B )
6	5	ex 115	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 394	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F <-> ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
8	7	eubidv 2085	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
10	3, 9	mpbid 147	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
11		df-reu 2515	. 2 |- ( E! y e. B <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
12	10, 11	sylibr 134	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E!weu 2077   e. wcel 2200   E!wreu 2510   <.cop 3669   Fn wfn 5312   -->wf 5313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321

This theorem is referenced by:  fdmeu  5676  fsn  5806  f1ofveu  5988