Theorem feu 5480

Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
feu	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Distinct variable groups:   y, F   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5445	. . . 4 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fneu2 5400	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
4		opelf 5468	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> ( C e. A /\ y e. B ) )
5	4	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> y e. B )
6	5	ex 115	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 394	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F <-> ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
8	7	eubidv 2063	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
10	3, 9	mpbid 147	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
11		df-reu 2493	. 2 |- ( E! y e. B <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
12	10, 11	sylibr 134	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E!weu 2055   e. wcel 2178   E!wreu 2488   <.cop 3646   Fn wfn 5285   -->wf 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294

This theorem is referenced by:  fsn  5775  f1ofveu  5955