Theorem fprg 5779

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fprg	|- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Proof of Theorem fprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnprg 5337	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )
2		rnsnopg 5169	. . . . . . 7 |- ( A e. E -> ran { <. A , C >. } = { C } )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
4	3	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
5		rnsnopg 5169	. . . . . . 7 |- ( B e. F -> ran { <. B , D >. } = { D } )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
7	6	3ad2ant1 1021	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
8	4, 7	uneq12d 3332	. . . 4 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } ) )
9		df-pr 3644	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
10	9	rneqi 4914	. . . . 5 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
11		rnun 5099	. . . . 5 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
12	10, 11	eqtri 2227	. . . 4 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
13		df-pr 3644	. . . 4 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
14	8, 12, 13	3eqtr4g 2264	. . 3 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )
15		eqimss 3251	. . 3 |- ( ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
17		df-f 5283	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } <-> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
18	1, 16, 17	sylanbrc 417	1 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   u. cun 3168   C_ wss 3170   {csn 3637   {cpr 3638   <.cop 3640   ran crn 4683   Fn wfn 5274   -->wf 5275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283

This theorem is referenced by:  ftpg  5780