Theorem fprg 5691

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fprg	|- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Proof of Theorem fprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnprg 5263	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )
2		rnsnopg 5099	. . . . . . 7 |- ( A e. E -> ran { <. A , C >. } = { C } )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
4	3	3ad2ant1 1018	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
5		rnsnopg 5099	. . . . . . 7 |- ( B e. F -> ran { <. B , D >. } = { D } )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
7	6	3ad2ant1 1018	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
8	4, 7	uneq12d 3288	. . . 4 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } ) )
9		df-pr 3596	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
10	9	rneqi 4848	. . . . 5 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
11		rnun 5029	. . . . 5 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
12	10, 11	eqtri 2196	. . . 4 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
13		df-pr 3596	. . . 4 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
14	8, 12, 13	3eqtr4g 2233	. . 3 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )
15		eqimss 3207	. . 3 |- ( ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
17		df-f 5212	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } <-> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
18	1, 16, 17	sylanbrc 417	1 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   =/= wne 2345   u. cun 3125   C_ wss 3127   {csn 3589   {cpr 3590   <.cop 3592   ran crn 4621   Fn wfn 5203   -->wf 5204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212

This theorem is referenced by:  ftpg  5692