Theorem fprg 5845

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fprg	|- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Proof of Theorem fprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnprg 5392	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )
2		rnsnopg 5222	. . . . . . 7 |- ( A e. E -> ran { <. A , C >. } = { C } )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
4	3	3ad2ant1 1045	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
5		rnsnopg 5222	. . . . . . 7 |- ( B e. F -> ran { <. B , D >. } = { D } )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
7	6	3ad2ant1 1045	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
8	4, 7	uneq12d 3364	. . . 4 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } ) )
9		df-pr 3680	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
10	9	rneqi 4966	. . . . 5 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
11		rnun 5152	. . . . 5 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
12	10, 11	eqtri 2252	. . . 4 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
13		df-pr 3680	. . . 4 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
14	8, 12, 13	3eqtr4g 2289	. . 3 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )
15		eqimss 3282	. . 3 |- ( ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
17		df-f 5337	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } <-> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
18	1, 16, 17	sylanbrc 417	1 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   {cpr 3674   <.cop 3676   ran crn 4732   Fn wfn 5328   -->wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337

This theorem is referenced by:  ftpg  5846