ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprg Unicode version

Theorem fprg 5723
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fprg  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)

Proof of Theorem fprg
StepHypRef Expression
1 fnprg 5293 . 2  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }
)
2 rnsnopg 5128 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  E  ->  ran  {
<. A ,  C >. }  =  { C }
)
32adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F )  ->  ran  { <. A ,  C >. }  =  { C } )
433ad2ant1 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. }  =  { C }
)
5 rnsnopg 5128 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  F  ->  ran  {
<. B ,  D >. }  =  { D }
)
65adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F )  ->  ran  { <. B ,  D >. }  =  { D } )
763ad2ant1 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. B ,  D >. }  =  { D }
)
84, 7uneq12d 3305 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  ( { C }  u.  { D } ) )
9 df-pr 3617 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
109rneqi 4876 . . . . 5  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ran  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
11 rnun 5058 . . . . 5  |-  ran  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
1210, 11eqtri 2210 . . . 4  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
13 df-pr 3617 . . . 4  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
148, 12, 133eqtr4g 2247 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { C ,  D } )
15 eqimss 3224 . . 3  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { C ,  D }  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } )
17 df-f 5242 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }  <->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  C_  { C ,  D } ) )
181, 16, 17sylanbrc 417 1  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360    u. cun 3142    C_ wss 3144   {csn 3610   {cpr 3611   <.cop 3613   ran crn 4648    Fn wfn 5233   -->wf 5234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242
This theorem is referenced by:  ftpg  5724
  Copyright terms: Public domain W3C validator