ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprg Unicode version

Theorem fprg 5603
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fprg  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)

Proof of Theorem fprg
StepHypRef Expression
1 fnprg 5178 . 2  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }
)
2 rnsnopg 5017 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  E  ->  ran  {
<. A ,  C >. }  =  { C }
)
32adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F )  ->  ran  { <. A ,  C >. }  =  { C } )
433ad2ant1 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. }  =  { C }
)
5 rnsnopg 5017 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  F  ->  ran  {
<. B ,  D >. }  =  { D }
)
65adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F )  ->  ran  { <. B ,  D >. }  =  { D } )
763ad2ant1 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. B ,  D >. }  =  { D }
)
84, 7uneq12d 3231 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  ( { C }  u.  { D } ) )
9 df-pr 3534 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
109rneqi 4767 . . . . 5  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ran  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
11 rnun 4947 . . . . 5  |-  ran  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
1210, 11eqtri 2160 . . . 4  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
13 df-pr 3534 . . . 4  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
148, 12, 133eqtr4g 2197 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { C ,  D } )
15 eqimss 3151 . . 3  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { C ,  D }  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } )
17 df-f 5127 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }  <->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  C_  { C ,  D } ) )
181, 16, 17sylanbrc 413 1  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308    u. cun 3069    C_ wss 3071   {csn 3527   {cpr 3528   <.cop 3530   ran crn 4540    Fn wfn 5118   -->wf 5119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127
This theorem is referenced by:  ftpg  5604
  Copyright terms: Public domain W3C validator