Theorem fprg 5679

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fprg	|- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Proof of Theorem fprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnprg 5253	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )
2		rnsnopg 5089	. . . . . . 7 |- ( A e. E -> ran { <. A , C >. } = { C } )
3	2	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
4	3	3ad2ant1 1013	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
5		rnsnopg 5089	. . . . . . 7 |- ( B e. F -> ran { <. B , D >. } = { D } )
6	5	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
7	6	3ad2ant1 1013	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
8	4, 7	uneq12d 3282	. . . 4 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } ) )
9		df-pr 3590	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
10	9	rneqi 4839	. . . . 5 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
11		rnun 5019	. . . . 5 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
12	10, 11	eqtri 2191	. . . 4 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
13		df-pr 3590	. . . 4 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
14	8, 12, 13	3eqtr4g 2228	. . 3 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )
15		eqimss 3201	. . 3 |- ( ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
17		df-f 5202	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } <-> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
18	1, 16, 17	sylanbrc 415	1 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   u. cun 3119   C_ wss 3121   {csn 3583   {cpr 3584   <.cop 3586   ran crn 4612   Fn wfn 5193   -->wf 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202

This theorem is referenced by:  ftpg  5680