ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprg Unicode version

Theorem fprg 5571
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fprg  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)

Proof of Theorem fprg
StepHypRef Expression
1 fnprg 5148 . 2  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }
)
2 rnsnopg 4987 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  E  ->  ran  {
<. A ,  C >. }  =  { C }
)
32adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F )  ->  ran  { <. A ,  C >. }  =  { C } )
433ad2ant1 987 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. }  =  { C }
)
5 rnsnopg 4987 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  F  ->  ran  {
<. B ,  D >. }  =  { D }
)
65adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F )  ->  ran  { <. B ,  D >. }  =  { D } )
763ad2ant1 987 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. B ,  D >. }  =  { D }
)
84, 7uneq12d 3201 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  ( { C }  u.  { D } ) )
9 df-pr 3504 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
109rneqi 4737 . . . . 5  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ran  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
11 rnun 4917 . . . . 5  |-  ran  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
1210, 11eqtri 2138 . . . 4  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
13 df-pr 3504 . . . 4  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
148, 12, 133eqtr4g 2175 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { C ,  D } )
15 eqimss 3121 . . 3  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { C ,  D }  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } )
17 df-f 5097 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }  <->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  C_  { C ,  D } ) )
181, 16, 17sylanbrc 413 1  |-  ( ( ( A  e.  E  /\  B  e.  F
)  /\  ( C  e.  G  /\  D  e.  H )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285    u. cun 3039    C_ wss 3041   {csn 3497   {cpr 3498   <.cop 3500   ran crn 4510    Fn wfn 5088   -->wf 5089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097
This theorem is referenced by:  ftpg  5572
  Copyright terms: Public domain W3C validator