Theorem fprg 5668

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fprg	|- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Proof of Theorem fprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnprg 5243	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )
2		rnsnopg 5082	. . . . . . 7 |- ( A e. E -> ran { <. A , C >. } = { C } )
3	2	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
4	3	3ad2ant1 1008	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. } = { C } )
5		rnsnopg 5082	. . . . . . 7 |- ( B e. F -> ran { <. B , D >. } = { D } )
6	5	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. E /\ B e. F ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
7	6	3ad2ant1 1008	. . . . 5 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. B , D >. } = { D } )
8	4, 7	uneq12d 3277	. . . 4 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } ) = ( { C } u. { D } ) )
9		df-pr 3583	. . . . . 6 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
10	9	rneqi 4832	. . . . 5 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
11		rnun 5012	. . . . 5 |- ran ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
12	10, 11	eqtri 2186	. . . 4 |- ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( ran { <. A , C >. } u. ran { <. B , D >. } )
13		df-pr 3583	. . . 4 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
14	8, 12, 13	3eqtr4g 2224	. . 3 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } )
15		eqimss 3196	. . 3 |- ( ran { <. A , C >. , <. B , D >. } = { C , D } -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } )
17		df-f 5192	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } <-> ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } /\ ran { <. A , C >. , <. B , D >. } C_ { C , D } ) )
18	1, 16, 17	sylanbrc 414	1 |- ( ( ( A e. E /\ B e. F ) /\ ( C e. G /\ D e. H ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } : { A , B } --> { C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   u. cun 3114   C_ wss 3116   {csn 3576   {cpr 3577   <.cop 3579   ran crn 4605   Fn wfn 5183   -->wf 5184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192

This theorem is referenced by:  ftpg  5669