Theorem fnprg 5186

Description: Function with a domain of two different values. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem fnprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funprg 5181	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
2		dmpropg 5019	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
3	2	3ad2ant2 1004	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
4		df-fn 5134	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵}))
5	1, 3, 4	sylanbrc 414	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  {cpr 3533  ⟨cop 3535  dom cdm 4547  Fun wfun 5125   Fn wfn 5126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-fun 5133  df-fn 5134

This theorem is referenced by:  fprg  5611