ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnprg GIF version

Theorem fnprg 5273
Description: Function with a domain of two different values. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnprg (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem fnprg
StepHypRef Expression
1 funprg 5268 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
2 dmpropg 5103 . . 3 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
323ad2ant2 1019 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵})
4 df-fn 5221 . 2 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐴, 𝐵}))
51, 3, 4sylanbrc 417 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} Fn {𝐴, 𝐵})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  {cpr 3595  cop 3597  dom cdm 4628  Fun wfun 5212   Fn wfn 5213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-fun 5220  df-fn 5221
This theorem is referenced by:  fprg  5701  fnpr2o  12763
  Copyright terms: Public domain W3C validator