Theorem funprg 5250

Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )

Proof of Theorem funprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1017	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> A e. V )
2		simp2l 1019	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> C e. X )
3		funsng 5246	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ C e. X ) -> Fun { <. A , C >. } )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. } )
5		simp1r 1018	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> B e. W )
6		simp2r 1020	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> D e. Y )
7		funsng 5246	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ D e. Y ) -> Fun { <. B , D >. } )
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. B , D >. } )
9		dmsnopg 5084	. . . . . 6 |- ( C e. X -> dom { <. A , C >. } = { A } )
10	2, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> dom { <. A , C >. } = { A } )
11		dmsnopg 5084	. . . . . 6 |- ( D e. Y -> dom { <. B , D >. } = { B } )
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> dom { <. B , D >. } = { B } )
13	10, 12	ineq12d 3330	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> ( dom { <. A , C >. } i^i dom { <. B , D >. } ) = ( { A } i^i { B } ) )
14		disjsn2 3647	. . . . 5 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
15	14	3ad2ant3 1016	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
16	13, 15	eqtrd 2204	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> ( dom { <. A , C >. } i^i dom { <. B , D >. } ) = (/) )
17		funun 5244	. . 3 |- ( ( ( Fun { <. A , C >. } /\ Fun { <. B , D >. } ) /\ ( dom { <. A , C >. } i^i dom { <. B , D >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
18	4, 8, 16, 17	syl21anc 1233	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
19		df-pr 3591	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
20	19	funeqi 5221	. 2 |- ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } <-> Fun ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
21	18, 20	sylibr 133	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 974   = wceq 1349   e. wcel 2142   =/= wne 2341   u. cun 3120   i^i cin 3121   (/)c0 3415   {csn 3584   {cpr 3585   <.cop 3587   dom cdm 4612   Fun wfun 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-v 2733  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-br 3991  df-opab 4052  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-fun 5202

This theorem is referenced by:  funtpg  5251  funpr  5252  fnprg  5255  2strbasg  12523  2stropg  12524