Theorem funprg 5308

Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )

Proof of Theorem funprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1023	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> A e. V )
2		simp2l 1025	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> C e. X )
3		funsng 5304	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ C e. X ) -> Fun { <. A , C >. } )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. } )
5		simp1r 1024	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> B e. W )
6		simp2r 1026	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> D e. Y )
7		funsng 5304	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ D e. Y ) -> Fun { <. B , D >. } )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. B , D >. } )
9		dmsnopg 5141	. . . . . 6 |- ( C e. X -> dom { <. A , C >. } = { A } )
10	2, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> dom { <. A , C >. } = { A } )
11		dmsnopg 5141	. . . . . 6 |- ( D e. Y -> dom { <. B , D >. } = { B } )
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> dom { <. B , D >. } = { B } )
13	10, 12	ineq12d 3365	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> ( dom { <. A , C >. } i^i dom { <. B , D >. } ) = ( { A } i^i { B } ) )
14		disjsn2 3685	. . . . 5 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
15	14	3ad2ant3 1022	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
16	13, 15	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> ( dom { <. A , C >. } i^i dom { <. B , D >. } ) = (/) )
17		funun 5302	. . 3 |- ( ( ( Fun { <. A , C >. } /\ Fun { <. B , D >. } ) /\ ( dom { <. A , C >. } i^i dom { <. B , D >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
18	4, 8, 16, 17	syl21anc 1248	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
19		df-pr 3629	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
20	19	funeqi 5279	. 2 |- ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } <-> Fun ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
21	18, 20	sylibr 134	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450   {csn 3622   {cpr 3623   <.cop 3625   dom cdm 4663   Fun wfun 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-fun 5260

This theorem is referenced by:  funtpg  5309  funpr  5310  fnprg  5313  2strbasg  12797  2stropg  12798