Theorem funprg 5238

Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )

Proof of Theorem funprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1011	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> A e. V )
2		simp2l 1013	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> C e. X )
3		funsng 5234	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ C e. X ) -> Fun { <. A , C >. } )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. } )
5		simp1r 1012	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> B e. W )
6		simp2r 1014	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> D e. Y )
7		funsng 5234	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ D e. Y ) -> Fun { <. B , D >. } )
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. B , D >. } )
9		dmsnopg 5075	. . . . . 6 |- ( C e. X -> dom { <. A , C >. } = { A } )
10	2, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> dom { <. A , C >. } = { A } )
11		dmsnopg 5075	. . . . . 6 |- ( D e. Y -> dom { <. B , D >. } = { B } )
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> dom { <. B , D >. } = { B } )
13	10, 12	ineq12d 3324	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> ( dom { <. A , C >. } i^i dom { <. B , D >. } ) = ( { A } i^i { B } ) )
14		disjsn2 3639	. . . . 5 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
15	14	3ad2ant3 1010	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
16	13, 15	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> ( dom { <. A , C >. } i^i dom { <. B , D >. } ) = (/) )
17		funun 5232	. . 3 |- ( ( ( Fun { <. A , C >. } /\ Fun { <. B , D >. } ) /\ ( dom { <. A , C >. } i^i dom { <. B , D >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
18	4, 8, 16, 17	syl21anc 1227	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
19		df-pr 3583	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
20	19	funeqi 5209	. 2 |- ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } <-> Fun ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
21	18, 20	sylibr 133	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   u. cun 3114   i^i cin 3115   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577   <.cop 3579   dom cdm 4604   Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-fun 5190

This theorem is referenced by:  funtpg  5239  funpr  5240  fnprg  5243  2strbasg  12496  2stropg  12497