Theorem fnpr2o 13286

Description: Function with a domain of 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4660	. . . 4 |- (/) e. om
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) e. om )
3		1onn 6629	. . . 4 |- 1o e. om
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1o e. om )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
7		1n0 6541	. . . . 5 |- 1o =/= (/)
8	7	necomi 2463	. . . 4 |- (/) =/= 1o
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) =/= 1o )
10		fnprg 5348	. . 3 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. om ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) /\ (/) =/= 1o ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1261	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
12		df2o3 6539	. . 3 |- 2o = { (/) , 1o }
13	12	fneq2i 5388	. 2 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o <-> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
14	11, 13	sylibr 134	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   =/= wne 2378   (/)c0 3468   {cpr 3644   <.cop 3646   omcom 4656   Fn wfn 5285   1oc1o 6518   2oc2o 6519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-fun 5292  df-fn 5293  df-1o 6525  df-2o 6526

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  13287  xpsfeq  13292  xpsfrnel2  13293