Theorem fnpr2o 13041

Description: Function with a domain of 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4631	. . . 4 |- (/) e. om
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) e. om )
3		1onn 6587	. . . 4 |- 1o e. om
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1o e. om )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
7		1n0 6499	. . . . 5 |- 1o =/= (/)
8	7	necomi 2452	. . . 4 |- (/) =/= 1o
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) =/= 1o )
10		fnprg 5314	. . 3 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. om ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) /\ (/) =/= 1o ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1260	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
12		df2o3 6497	. . 3 |- 2o = { (/) , 1o }
13	12	fneq2i 5354	. 2 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o <-> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
14	11, 13	sylibr 134	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   =/= wne 2367   (/)c0 3451   {cpr 3624   <.cop 3626   omcom 4627   Fn wfn 5254   1oc1o 6476   2oc2o 6477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-fun 5261  df-fn 5262  df-1o 6483  df-2o 6484

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  13042  xpsfeq  13047  xpsfrnel2  13048