Theorem fnpr2o 12776

Description: Function with a domain of 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4605	. . . 4 |- (/) e. om
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) e. om )
3		1onn 6534	. . . 4 |- 1o e. om
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1o e. om )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
7		1n0 6446	. . . . 5 |- 1o =/= (/)
8	7	necomi 2442	. . . 4 |- (/) =/= 1o
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) =/= 1o )
10		fnprg 5283	. . 3 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. om ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) /\ (/) =/= 1o ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1259	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
12		df2o3 6444	. . 3 |- 2o = { (/) , 1o }
13	12	fneq2i 5323	. 2 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o <-> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
14	11, 13	sylibr 134	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   =/= wne 2357   (/)c0 3434   {cpr 3605   <.cop 3607   omcom 4601   Fn wfn 5223   1oc1o 6423   2oc2o 6424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-fun 5230  df-fn 5231  df-1o 6430  df-2o 6431

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  12777  xpsfeq  12782  xpsfrnel2  12783