Theorem fnpr2o 13421

Description: Function with a domain of 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4692	. . . 4 |- (/) e. om
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) e. om )
3		1onn 6687	. . . 4 |- 1o e. om
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1o e. om )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
7		1n0 6599	. . . . 5 |- 1o =/= (/)
8	7	necomi 2487	. . . 4 |- (/) =/= 1o
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) =/= 1o )
10		fnprg 5385	. . 3 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. om ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) /\ (/) =/= 1o ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1284	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
12		df2o3 6596	. . 3 |- 2o = { (/) , 1o }
13	12	fneq2i 5425	. 2 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o <-> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
14	11, 13	sylibr 134	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   =/= wne 2402   (/)c0 3494   {cpr 3670   <.cop 3672   omcom 4688   Fn wfn 5321   1oc1o 6574   2oc2o 6575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-fun 5328  df-fn 5329  df-1o 6581  df-2o 6582

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  13422  xpsfeq  13427  xpsfrnel2  13428