Theorem fnpr2o 13552

Description: Function with a domain of 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 4716	. . . 4 |- (/) e. om
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) e. om )
3		1onn 6753	. . . 4 |- 1o e. om
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> 1o e. om )
5		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> A e. V )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
7		1n0 6665	. . . . 5 |- 1o =/= (/)
8	7	necomi 2497	. . . 4 |- (/) =/= 1o
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (/) =/= 1o )
10		fnprg 5411	. . 3 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. om ) /\ ( A e. V /\ B e. W ) /\ (/) =/= 1o ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1285	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
12		df2o3 6662	. . 3 |- 2o = { (/) , 1o }
13	12	fneq2i 5451	. 2 |- ( { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o <-> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn { (/) , 1o } )
14	11, 13	sylibr 134	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. (/) , A >. , <. 1o , B >. } Fn 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   =/= wne 2412   (/)c0 3508   {cpr 3690   <.cop 3692   omcom 4712   Fn wfn 5347   1oc1o 6640   2oc2o 6641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-fun 5354  df-fn 5355  df-1o 6647  df-2o 6648

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  13553  xpsfeq  13558  xpsfrnel2  13559