Theorem funfvima2 5798

Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3178	. . 3 |- ( A C_ dom F -> ( B e. A -> B e. dom F ) )
2		funfvima 5797	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )
3	2	ex 115	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( B e. dom F -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
4	3	com23 78	. . . 4 |- ( Fun F -> ( B e. A -> ( B e. dom F -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
5	4	a2d 26	. . 3 |- ( Fun F -> ( ( B e. A -> B e. dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
6	1, 5	syl5 32	. 2 |- ( Fun F -> ( A C_ dom F -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
7	6	imp 124	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   C_ wss 3157   dom cdm 4664   "cima 4667   Fun wfun 5253   ` cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fnfvima  5800  phimullem  12418  qtopbasss  14841  tgqioo  14875  plyaddlem1  15067  plymullem1  15068