Theorem funfvima2 5717

Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3136	. . 3 |- ( A C_ dom F -> ( B e. A -> B e. dom F ) )
2		funfvima 5716	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )
3	2	ex 114	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( B e. dom F -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
4	3	com23 78	. . . 4 |- ( Fun F -> ( B e. A -> ( B e. dom F -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
5	4	a2d 26	. . 3 |- ( Fun F -> ( ( B e. A -> B e. dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
6	1, 5	syl5 32	. 2 |- ( Fun F -> ( A C_ dom F -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
7	6	imp 123	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   C_ wss 3116   dom cdm 4604   "cima 4607   Fun wfun 5182   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fnfvima  5719  phimullem  12157  qtopbasss  13171  tgqioo  13197