Theorem funfvima2 5749

Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3149	. . 3 |- ( A C_ dom F -> ( B e. A -> B e. dom F ) )
2		funfvima 5748	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )
3	2	ex 115	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( B e. dom F -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
4	3	com23 78	. . . 4 |- ( Fun F -> ( B e. A -> ( B e. dom F -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
5	4	a2d 26	. . 3 |- ( Fun F -> ( ( B e. A -> B e. dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
6	1, 5	syl5 32	. 2 |- ( Fun F -> ( A C_ dom F -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) ) )
7	6	imp 124	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( B e. A -> ( F ` B ) e. ( F " A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   C_ wss 3129   dom cdm 4626   "cima 4629   Fun wfun 5210   ` cfv 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224

This theorem is referenced by:  fnfvima  5751  phimullem  12219  qtopbasss  13914  tgqioo  13940