Theorem phimullem 12157

Description: Lemma for phimul 12158. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	|- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
crth.2	|- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
crth.3	|- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
crth.4	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
phimul.4	|- U = { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 }
phimul.5	|- V = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
phimul.6	|- W = { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }

Assertion

Ref	Expression
phimullem	|- ( ph -> ( phi ` ( M x. N ) ) = ( ( phi ` M ) x. ( phi ` N ) ) )

Distinct variable groups:   y, F   x, M   x, N   x, S, y   x, T   ph, x, y   y, M   y, N

Allowed substitution hints:   T( y)   U( x, y)   F( x)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem phimullem

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( y gcd ( M x. N ) ) = ( w gcd ( M x. N ) ) )
2	1	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 <-> ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
3		phimul.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }
4	2, 3	elrab2 2885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. W <-> ( w e. S /\ ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
5	4	simplbi 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. W -> w e. S )
6	5	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. S )
7		elfzoelz 10082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> w e. ZZ )
8		crth.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
9	7, 8	eleq2s 2261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. S -> w e. ZZ )
10	6, 9	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. ZZ )
11		zq 9564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ZZ -> w e. QQ )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. QQ )
13		crth.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
14	13	simp1d 999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN )
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> M e. NN )
16		nnq 9571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> M e. QQ )
18	15	nngt0d 8901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> 0 < M )
19	12, 17, 18	modqcld 10263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod M ) e. QQ )
20	13	simp2d 1000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N e. NN )
22		nnq 9571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N e. QQ )
24	21	nngt0d 8901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> 0 < N )
25	12, 23, 24	modqcld 10263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod N ) e. QQ )
26		opexg 4206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w mod M ) e. QQ /\ ( w mod N ) e. QQ ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. _V )
27	19, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. _V )
28		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( x mod M ) = ( w mod M ) )
29		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( x mod N ) = ( w mod N ) )
30	28, 29	opeq12d 3766	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
31		crth.3	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
32	30, 31	fvmptg 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. S /\ <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` w ) = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
33	6, 27, 32	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( F ` w ) = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
34	5, 8	eleqtrdi 2259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. W -> w e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
36	35, 7	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. ZZ )
37		zmodfzo 10282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( w mod M ) e. ( 0..^ M ) )
38	36, 15, 37	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod M ) e. ( 0..^ M ) )
39		modgcd 11924	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( ( w mod M ) gcd M ) = ( w gcd M ) )
40	36, 15, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod M ) gcd M ) = ( w gcd M ) )
41	15	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> M e. ZZ )
42		gcddvds 11896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
43	36, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
44	43	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) || w )
45		nnne0 8885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
46		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w = 0 /\ M = 0 ) -> M = 0 )
47	46	necon3ai 2385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
48	15, 45, 47	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
49		gcdn0cl 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ M = 0 ) ) -> ( w gcd M ) e. NN )
50	36, 41, 48, 49	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) e. NN )
51	50	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) e. ZZ )
52	21	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N e. ZZ )
53	43	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) || M )
54	51, 41, 52, 53	dvdsmultr1d 11772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) || ( M x. N ) )
55	15, 21	nnmulcld 8906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( M x. N ) e. NN )
56	55	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
57		nnne0 8885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M x. N ) e. NN -> ( M x. N ) =/= 0 )
58		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) -> ( M x. N ) = 0 )
59	58	necon3ai 2385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M x. N ) =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) )
60	55, 57, 59	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) )
61		dvdslegcd 11897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w gcd M ) e. ZZ /\ w e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) ) -> ( ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd M ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
62	51, 36, 56, 60, 61	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd M ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
63	44, 54, 62	mp2and 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) )
64	4	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. W -> ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 )
65	64	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 )
66	63, 65	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) <_ 1 )
67		nnle1eq1 8881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w gcd M ) e. NN -> ( ( w gcd M ) <_ 1 <-> ( w gcd M ) = 1 ) )
68	50, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd M ) <_ 1 <-> ( w gcd M ) = 1 ) )
69	66, 68	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) = 1 )
70	40, 69	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod M ) gcd M ) = 1 )
71		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( w mod M ) -> ( y gcd M ) = ( ( w mod M ) gcd M ) )
72	71	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( w mod M ) -> ( ( y gcd M ) = 1 <-> ( ( w mod M ) gcd M ) = 1 ) )
73		phimul.4	. . . . . . . . . . . 12 |- U = { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 }
74	72, 73	elrab2 2885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w mod M ) e. U <-> ( ( w mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( w mod M ) gcd M ) = 1 ) )
75	38, 70, 74	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod M ) e. U )
76		zmodfzo 10282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( w mod N ) e. ( 0..^ N ) )
77	36, 21, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod N ) e. ( 0..^ N ) )
78		modgcd 11924	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( w mod N ) gcd N ) = ( w gcd N ) )
79	36, 21, 78	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod N ) gcd N ) = ( w gcd N ) )
80		gcddvds 11896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
81	36, 52, 80	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
82	81	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) || w )
83	81	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) || N )
84		dvdsmul2 11754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
85	41, 52, 84	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N || ( M x. N ) )
86		nnne0 8885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
87		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
88	87	necon3ai 2385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
89	21, 86, 88	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
90		gcdn0cl 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( w gcd N ) e. NN )
91	36, 52, 89, 90	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) e. NN )
92	91	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) e. ZZ )
93		dvdstr 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w gcd N ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( ( w gcd N ) || N /\ N || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) )
94	92, 52, 56, 93	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd N ) || N /\ N || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) )
95	83, 85, 94	mp2and 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) || ( M x. N ) )
96		dvdslegcd 11897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w gcd N ) e. ZZ /\ w e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) ) -> ( ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
97	92, 36, 56, 60, 96	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
98	82, 95, 97	mp2and 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) )
99	98, 65	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) <_ 1 )
100		nnle1eq1 8881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w gcd N ) e. NN -> ( ( w gcd N ) <_ 1 <-> ( w gcd N ) = 1 ) )
101	91, 100	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd N ) <_ 1 <-> ( w gcd N ) = 1 ) )
102	99, 101	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) = 1 )
103	79, 102	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod N ) gcd N ) = 1 )
104		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( w mod N ) -> ( y gcd N ) = ( ( w mod N ) gcd N ) )
105	104	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( w mod N ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( w mod N ) gcd N ) = 1 ) )
106		phimul.5	. . . . . . . . . . . 12 |- V = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
107	105, 106	elrab2 2885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w mod N ) e. V <-> ( ( w mod N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( w mod N ) gcd N ) = 1 ) )
108	77, 103, 107	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod N ) e. V )
109		opelxpi 4636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w mod M ) e. U /\ ( w mod N ) e. V ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. ( U X. V ) )
110	75, 108, 109	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. ( U X. V ) )
111	33, 110	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( F ` w ) e. ( U X. V ) )
112	111	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. w e. W ( F ` w ) e. ( U X. V ) )
113		crth.2	. . . . . . . . . 10 |- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
114	8, 113, 31, 13	crth 12156	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )
115		f1ofn 5433	. . . . . . . . 9 |- ( F : S -1-1-onto-> T -> F Fn S )
116		fnfun 5285	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn S -> Fun F )
117	114, 115, 116	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun F )
118		ssrab2 3227	. . . . . . . . . 10 |- { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } C_ S
119	3, 118	eqsstri 3174	. . . . . . . . 9 |- W C_ S
120		fndm 5287	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn S -> dom F = S )
121	114, 115, 120	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = S )
122	119, 121	sseqtrrid 3193	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W C_ dom F )
123		funimass4 5537	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ W C_ dom F ) -> ( ( F " W ) C_ ( U X. V ) <-> A. w e. W ( F ` w ) e. ( U X. V ) ) )
124	117, 122, 123	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F " W ) C_ ( U X. V ) <-> A. w e. W ( F ` w ) e. ( U X. V ) ) )
125	112, 124	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F " W ) C_ ( U X. V ) )
126		ssrab2 3227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } C_ ( 0..^ M )
127	73, 126	eqsstri 3174	. . . . . . . . . . . . 13 |- U C_ ( 0..^ M )
128		ssrab2 3227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
129	106, 128	eqsstri 3174	. . . . . . . . . . . . 13 |- V C_ ( 0..^ N )
130		xpss12 4711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U C_ ( 0..^ M ) /\ V C_ ( 0..^ N ) ) -> ( U X. V ) C_ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
131	127, 129, 130	mp2an 423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U X. V ) C_ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
132	131, 113	sseqtrri 3177	. . . . . . . . . . 11 |- ( U X. V ) C_ T
133	132	sseli 3138	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U X. V ) -> z e. T )
134		f1ocnvfv2 5746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : S -1-1-onto-> T /\ z e. T ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
135	114, 133, 134	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
136		f1ocnv 5445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : S -1-1-onto-> T -> `' F : T -1-1-onto-> S )
137		f1of 5432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F : T -1-1-onto-> S -> `' F : T --> S )
138	114, 136, 137	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> `' F : T --> S )
139		ffvelrn 5618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F : T --> S /\ z e. T ) -> ( `' F ` z ) e. S )
140	138, 133, 139	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. S )
141	140, 8	eleqtrdi 2259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
142		elfzoelz 10082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' F ` z ) e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> ( `' F ` z ) e. ZZ )
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. ZZ )
144	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> M e. NN )
145		modgcd 11924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' F ` z ) e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = ( ( `' F ` z ) gcd M ) )
146	143, 144, 145	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = ( ( `' F ` z ) gcd M ) )
147		zq 9564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( `' F ` z ) e. ZZ -> ( `' F ` z ) e. QQ )
148	143, 147	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. QQ )
149	144, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> M e. QQ )
150	144	nngt0d 8901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> 0 < M )
151	148, 149, 150	modqcld 10263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod M ) e. QQ )
152	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> N e. NN )
153	152, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> N e. QQ )
154	152	nngt0d 8901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> 0 < N )
155	148, 153, 154	modqcld 10263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod N ) e. QQ )
156		opexg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. QQ /\ ( ( `' F ` z ) mod N ) e. QQ ) -> <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. _V )
157	151, 155, 156	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. _V )
158		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( `' F ` z ) -> ( w mod M ) = ( ( `' F ` z ) mod M ) )
159		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( `' F ` z ) -> ( w mod N ) = ( ( `' F ` z ) mod N ) )
160	158, 159	opeq12d 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( `' F ` z ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
161	30	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. ) = ( w e. S |-> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
162	31, 161	eqtri 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F = ( w e. S |-> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
163	160, 162	fvmptg 5562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( `' F ` z ) e. S /\ <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
164	140, 157, 163	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
165	135, 164	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> z = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
166		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> z e. ( U X. V ) )
167	165, 166	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. ( U X. V ) )
168		opelxp 4634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. ( U X. V ) <-> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U /\ ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V ) )
169	167, 168	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U /\ ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V ) )
170	169	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U )
171		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod M ) -> ( y gcd M ) = ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) )
172	171	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod M ) -> ( ( y gcd M ) = 1 <-> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 ) )
173	172, 73	elrab2 2885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U <-> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 ) )
174	170, 173	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 ) )
175	174	simprd 113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 )
176	146, 175	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) gcd M ) = 1 )
177		modgcd 11924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' F ` z ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = ( ( `' F ` z ) gcd N ) )
178	143, 152, 177	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = ( ( `' F ` z ) gcd N ) )
179	169	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V )
180		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod N ) -> ( y gcd N ) = ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) )
181	180	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod N ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 ) )
182	181, 106	elrab2 2885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V <-> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 ) )
183	179, 182	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 ) )
184	183	simprd 113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 )
185	178, 184	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) gcd N ) = 1 )
186	14	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ZZ )
187	186	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> M e. ZZ )
188	20	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
189	188	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> N e. ZZ )
190		rpmul 12030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' F ` z ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( `' F ` z ) gcd M ) = 1 /\ ( ( `' F ` z ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
191	143, 187, 189, 190	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( ( `' F ` z ) gcd M ) = 1 /\ ( ( `' F ` z ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
192	176, 185, 191	mp2and 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 )
193		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( y gcd ( M x. N ) ) = ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) )
194	193	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 <-> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
195	194, 3	elrab2 2885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F ` z ) e. W <-> ( ( `' F ` z ) e. S /\ ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
196	140, 192, 195	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. W )
197		funfvima2 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ W C_ dom F ) -> ( ( `' F ` z ) e. W -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) ) )
198	117, 122, 197	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( `' F ` z ) e. W -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) ) )
199	198	imp 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( `' F ` z ) e. W ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) )
200	196, 199	syldan 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) )
201	135, 200	eqeltrrd 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> z e. ( F " W ) )
202	201	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. ( U X. V ) -> z e. ( F " W ) ) )
203	202	ssrdv 3148	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U X. V ) C_ ( F " W ) )
204	125, 203	eqssd 3159	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " W ) = ( U X. V ) )
205		f1of1 5431	. . . . . . 7 |- ( F : S -1-1-onto-> T -> F : S -1-1-> T )
206	114, 205	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : S -1-1-> T )
207	119	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> W C_ S )
208		0z 9202	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
209	186, 188	zmulcld 9319	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M x. N ) e. ZZ )
210		fzofig 10367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
211	208, 209, 210	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
212	8, 211	eqeltrid 2253	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. Fin )
213		elfzoelz 10082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y e. ZZ )
214	213, 8	eleq2s 2261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
215	214	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. ZZ )
216	209	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
217	215, 216	gcdcld 11901	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( y gcd ( M x. N ) ) e. NN0 )
218	217	nn0zd 9311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( y gcd ( M x. N ) ) e. ZZ )
219		1zzd 9218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> 1 e. ZZ )
220		zdceq 9266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y gcd ( M x. N ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 )
221	218, 219, 220	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> DECID ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 )
222	221	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. S DECID ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 )
223	212, 222	ssfirab 6899	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } e. Fin )
224	3, 223	eqeltrid 2253	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Fin )
225		f1imaeng 6758	. . . . . 6 |- ( ( F : S -1-1-> T /\ W C_ S /\ W e. Fin ) -> ( F " W ) ~~ W )
226	206, 207, 224, 225	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " W ) ~~ W )
227	204, 226	eqbrtrrd 4006	. . . 4 |- ( ph -> ( U X. V ) ~~ W )
228		fzofig 10367	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
229	208, 186, 228	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0..^ M ) e. Fin )
230		elfzoelz 10082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ M ) -> y e. ZZ )
231	230	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> y e. ZZ )
232	186	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> M e. ZZ )
233	231, 232	gcdcld 11901	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> ( y gcd M ) e. NN0 )
234	233	nn0zd 9311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> ( y gcd M ) e. ZZ )
235		1z 9217	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
236		zdceq 9266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y gcd M ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( y gcd M ) = 1 )
237	234, 235, 236	sylancl 410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> DECID ( y gcd M ) = 1 )
238	237	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. ( 0..^ M )DECID ( y gcd M ) = 1 )
239	229, 238	ssfirab 6899	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } e. Fin )
240	73, 239	eqeltrid 2253	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. Fin )
241		fzofig 10367	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
242	208, 188, 241	sylancr 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
243		elfzoelz 10082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> y e. ZZ )
244	243	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> y e. ZZ )
245	188	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
246	244, 245	gcdcld 11901	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> ( y gcd N ) e. NN0 )
247	246	nn0zd 9311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> ( y gcd N ) e. ZZ )
248		1zzd 9218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> 1 e. ZZ )
249		zdceq 9266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( y gcd N ) = 1 )
250	247, 248, 249	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( y gcd N ) = 1 )
251	250	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. ( 0..^ N )DECID ( y gcd N ) = 1 )
252	242, 251	ssfirab 6899	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } e. Fin )
253	106, 252	eqeltrid 2253	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. Fin )
254		xpfi 6895	. . . . . 6 |- ( ( U e. Fin /\ V e. Fin ) -> ( U X. V ) e. Fin )
255	240, 253, 254	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( U X. V ) e. Fin )
256		hashen 10697	. . . . 5 |- ( ( ( U X. V ) e. Fin /\ W e. Fin ) -> ( (♯ ` ( U X. V ) ) = (♯ ` W ) <-> ( U X. V ) ~~ W ) )
257	255, 224, 256	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` ( U X. V ) ) = (♯ ` W ) <-> ( U X. V ) ~~ W ) )
258	227, 257	mpbird 166	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( U X. V ) ) = (♯ ` W ) )
259		hashxp 10739	. . . 4 |- ( ( U e. Fin /\ V e. Fin ) -> (♯ ` ( U X. V ) ) = ( (♯ ` U ) x. (♯ ` V ) ) )
260	240, 253, 259	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( U X. V ) ) = ( (♯ ` U ) x. (♯ ` V ) ) )
261	258, 260	eqtr3d 2200	. 2 |- ( ph -> (♯ ` W ) = ( (♯ ` U ) x. (♯ ` V ) ) )
262	14, 20	nnmulcld 8906	. . 3 |- ( ph -> ( M x. N ) e. NN )
263		dfphi2 12152	. . . 4 |- ( ( M x. N ) e. NN -> ( phi ` ( M x. N ) ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } ) )
264	8	rabeqi 2719	. . . . . 6 |- { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } = { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }
265	3, 264	eqtri 2186	. . . . 5 |- W = { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }
266	265	fveq2i 5489	. . . 4 |- (♯ ` W ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } )
267	263, 266	eqtr4di 2217	. . 3 |- ( ( M x. N ) e. NN -> ( phi ` ( M x. N ) ) = (♯ ` W ) )
268	262, 267	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( phi ` ( M x. N ) ) = (♯ ` W ) )
269		dfphi2 12152	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( phi ` M ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } ) )
270	73	fveq2i 5489	. . . . 5 |- (♯ ` U ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } )
271	269, 270	eqtr4di 2217	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( phi ` M ) = (♯ ` U ) )
272	14, 271	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` M ) = (♯ ` U ) )
273		dfphi2 12152	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } ) )
274	106	fveq2i 5489	. . . . 5 |- (♯ ` V ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } )
275	273, 274	eqtr4di 2217	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` V ) )
276	20, 275	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` N ) = (♯ ` V ) )
277	272, 276	oveq12d 5860	. 2 |- ( ph -> ( ( phi ` M ) x. ( phi ` N ) ) = ( (♯ ` U ) x. (♯ ` V ) ) )
278	261, 268, 277	3eqtr4d 2208	1 |- ( ph -> ( phi ` ( M x. N ) ) = ( ( phi ` M ) x. ( phi ` N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   {crab 2448   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   "cima 4607   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ~~ cen 6704   Fincfn 6706   0cc0 7753   1c1 7754   x. cmul 7758   <_ cle 7934   NNcn 8857   ZZcz 9191   QQcq 9557  ..^cfzo 10077   mod cmo 10257  ♯chash 10688   || cdvds 11727   gcd cgcd 11875   phicphi 12141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876  df-phi 12143

This theorem is referenced by:  phimul  12158