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Theorem phimullem 11294
Description: Lemma for phimul 11295. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crth.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crth.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crth.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
phimul.4  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
phimul.5  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
phimul.6  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
Assertion
Ref Expression
phimullem  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Distinct variable groups:    y, F    x, M    x, N    x, S, y    x, T    ph, x, y   
y, M    y, N
Allowed substitution hints:    T( y)    U( x, y)    F( x)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem phimullem
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
21eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
3 phimul.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
42, 3elrab2 2772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  W  <->  ( w  e.  S  /\  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
54simplbi 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  S )
65adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  S )
7 elfzoelz 9523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
8 crth.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
97, 8eleq2s 2182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  S  ->  w  e.  ZZ )
106, 9syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ZZ )
11 zq 9080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  QQ )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  QQ )
13 crth.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
1413simp1d 955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1514adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  NN )
16 nnq 9087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  QQ )
1815nngt0d 8437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  0  <  M )
1912, 17, 18modqcld 9700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  QQ )
2013simp2d 956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2120adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  NN )
22 nnq 9087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
2321, 22syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  QQ )
2421nngt0d 8437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  0  <  N )
2512, 23, 24modqcld 9700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  QQ )
26 opexg 4046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  mod  M
)  e.  QQ  /\  ( w  mod  N )  e.  QQ )  ->  <. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V )
2719, 25, 26syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V )
28 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  M )  =  ( w  mod  M ) )
29 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  N )  =  ( w  mod  N ) )
3028, 29opeq12d 3625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >. )
31 crth.3 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
3230, 31fvmptg 5364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  S  /\  <.
( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V )  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
336, 27, 32syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
345, 8syl6eleq 2180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
3534adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
3635, 7syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ZZ )
37 zmodfzo 9719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( w  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
3836, 15, 37syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
39 modgcd 11075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  M )  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
4036, 15, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
4115nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
42 gcddvds 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4336, 41, 42syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4443simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  w )
45 nnne0 8422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
46 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
4746necon3ai 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
4815, 45, 473syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
49 gcdn0cl 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  M )  e.  NN )
5036, 41, 48, 49syl21anc 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  NN )
5150nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  ZZ )
5221nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  ZZ )
5343simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  M )
5451, 41, 52, 53dvdsmultr1d 10928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  ( M  x.  N
) )
5515, 21nnmulcld 8442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  NN )
5655nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
57 nnne0 8422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( M  x.  N )  =/=  0 )
58 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 )  ->  ( M  x.  N )  =  0 )
5958necon3ai 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
6055, 57, 593syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
61 dvdslegcd 11049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  M )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6251, 36, 56, 60, 61syl31anc 1177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6344, 54, 62mp2and 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
644simprbi 269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  W  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
6564adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
6663, 65breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  1 )
67 nnle1eq1 8418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  M )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
6850, 67syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
6966, 68mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  =  1 )
7040, 69eqtrd 2120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
71 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( y  gcd  M )  =  ( ( w  mod  M
)  gcd  M )
)
7271eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( (
y  gcd  M )  =  1  <->  ( (
w  mod  M )  gcd  M )  =  1 ) )
73 phimul.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
7472, 73elrab2 2772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  M )  e.  U  <->  ( (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( w  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
7538, 70, 74sylanbrc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  U )
76 zmodfzo 9719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( w  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
7736, 21, 76syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
78 modgcd 11075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  N )  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
7936, 21, 78syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
80 gcddvds 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8136, 52, 80syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8281simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  w )
8381simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  N )
84 dvdsmul2 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
8541, 52, 84syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  ||  ( M  x.  N
) )
86 nnne0 8422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
87 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
8887necon3ai 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
8921, 86, 883syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
90 gcdn0cl 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  N )  e.  NN )
9136, 52, 89, 90syl21anc 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  NN )
9291nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  ZZ )
93 dvdstr 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9492, 52, 56, 93syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9583, 85, 94mp2and 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  ( M  x.  N
) )
96 dvdslegcd 11049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  N )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
9792, 36, 56, 60, 96syl31anc 1177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
9882, 95, 97mp2and 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
9998, 65breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  1 )
100 nnle1eq1 8418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  N )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
10191, 100syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
10299, 101mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  =  1 )
10379, 102eqtrd 2120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
104 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( y  gcd  N )  =  ( ( w  mod  N
)  gcd  N )
)
105104eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( (
y  gcd  N )  =  1  <->  ( (
w  mod  N )  gcd  N )  =  1 ) )
106 phimul.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
107105, 106elrab2 2772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  N )  e.  V  <->  ( (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( w  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
10877, 103, 107sylanbrc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  V )
109 opelxpi 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  mod  M
)  e.  U  /\  ( w  mod  N )  e.  V )  ->  <. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
11075, 108, 109syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V ) )
11133, 110eqeltrd 2164 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V
) )
112111ralrimiva 2446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) )
113 crth.2 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
1148, 113, 31, 13crth 11293 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
115 f1ofn 5238 . . . . . . . . 9  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F  Fn  S )
116 fnfun 5097 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  S  ->  Fun  F )
117114, 115, 1163syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
118 ssrab2 3104 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  C_  S
1193, 118eqsstri 3054 . . . . . . . . 9  |-  W  C_  S
120 fndm 5099 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  S  ->  dom  F  =  S )
121114, 115, 1203syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  S )
122119, 121syl5sseqr 3073 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  dom  F )
123 funimass4 5339 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
124117, 122, 123syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
125112, 124mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  C_  ( U  X.  V ) )
126 ssrab2 3104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  C_  (
0..^ M )
12773, 126eqsstri 3054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  C_  ( 0..^ M )
128 ssrab2 3104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
129106, 128eqsstri 3054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  C_  ( 0..^ N )
130 xpss12 4533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  C_  ( 0..^ M )  /\  V  C_  ( 0..^ N ) )  ->  ( U  X.  V )  C_  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
131127, 129, 130mp2an 417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  X.  V )  C_  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
132131, 113sseqtr4i 3057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  X.  V )  C_  T
133132sseli 3019 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  T )
134 f1ocnvfv2 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> T  /\  z  e.  T )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
135114, 133, 134syl2an 283 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
136 f1ocnv 5250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  `' F : T -1-1-onto-> S )
137 f1of 5237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F : T -1-1-onto-> S  ->  `' F : T --> S )
138114, 136, 1373syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : T --> S )
139 ffvelrn 5416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F : T --> S  /\  z  e.  T )  ->  ( `' F `  z )  e.  S
)
140138, 133, 139syl2an 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  S )
141140, 8syl6eleq 2180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
142 elfzoelz 9523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
143141, 142syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
14414adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  NN )
145 modgcd 11075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M
) )
146143, 144, 145syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M ) )
147 zq 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  ->  ( `' F `  z )  e.  QQ )
148143, 147syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  QQ )
149144, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  QQ )
150144nngt0d 8437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  0  <  M )
151148, 149, 150modqcld 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  QQ )
15220adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  NN )
153152, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  QQ )
154152nngt0d 8437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  0  <  N )
155148, 153, 154modqcld 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  QQ )
156 opexg 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  QQ  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  QQ )  ->  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >.  e.  _V )
157151, 155, 156syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  _V )
158 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  M )  =  ( ( `' F `  z )  mod  M ) )
159 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  N )  =  ( ( `' F `  z )  mod  N ) )
160158, 159opeq12d 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
16130cbvmptv 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  S  |->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >. )  =  ( w  e.  S  |->  <.
( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
16231, 161eqtri 2108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F  =  ( w  e.  S  |-> 
<. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
163160, 162fvmptg 5364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  S  /\  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >.  e.  _V )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
164140, 157, 163syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
165135, 164eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >. )
166 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( U  X.  V
) )
167165, 166eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
168 opelxp 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
)  <->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N )  e.  V ) )
169167, 168sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V ) )
170169simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U )
171 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( y  gcd  M
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )
)
172171eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( ( y  gcd 
M )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
173172, 73elrab2 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
174170, 173sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
175174simprd 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
176146, 175eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  M
)  =  1 )
177 modgcd 11075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N
) )
178143, 152, 177syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N ) )
179169simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V )
180 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( y  gcd  N
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )
)
181180eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( ( y  gcd 
N )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
182181, 106elrab2 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
183179, 182sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
184183simprd 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
185178, 184eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  N
)  =  1 )
18614nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
187186adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  ZZ )
18820nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
189188adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  ZZ )
190 rpmul 11173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
191143, 187, 189, 190syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
192176, 185, 191mp2and 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 )
193 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
) )
194193eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
195194, 3elrab2 2772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  W  <->  ( ( `' F `  z )  e.  S  /\  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
196140, 192, 195sylanbrc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  W )
197 funfvima2 5509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
198117, 122, 197syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
199198imp 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( `' F `  z )  e.  W )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
200196, 199syldan 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
201135, 200eqeltrrd 2165 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( F " W
) )
202201ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  ( F " W ) ) )
203202ssrdv 3029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( F " W ) )
204125, 203eqssd 3040 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  =  ( U  X.  V ) )
205 f1of1 5236 . . . . . . 7  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F : S -1-1-> T )
206114, 205syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
207119a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  C_  S )
208 0z 8731 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
209186, 188zmulcld 8844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
210 fzofig 9804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin )
211208, 209, 210sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin )
2128, 211syl5eqel 2174 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
213 elfzoelz 9523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  e.  ZZ )
214213, 8eleq2s 2182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
215214adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ZZ )
216209adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
217215, 216gcdcld 11053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  e. 
NN0 )
218217nn0zd 8836 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  e.  ZZ )
219 1zzd 8747 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  ZZ )
220 zdceq 8792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
221218, 219, 220syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  -> DECID  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 )
222221ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S DECID  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
223212, 222ssfirab 6622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }  e.  Fin )
2243, 223syl5eqel 2174 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
225 f1imaeng 6489 . . . . . 6  |-  ( ( F : S -1-1-> T  /\  W  C_  S  /\  W  e.  Fin )  ->  ( F " W
)  ~~  W )
226206, 207, 224, 225syl3anc 1174 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  ~~  W )
227204, 226eqbrtrrd 3859 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  ~~  W )
228 fzofig 9804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ M )  e.  Fin )
229208, 186, 228sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ M )  e.  Fin )
230 elfzoelz 9523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0..^ M )  ->  y  e.  ZZ )
231230adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  y  e.  ZZ )
232186adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  ZZ )
233231, 232gcdcld 11053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( y  gcd 
M )  e.  NN0 )
234233nn0zd 8836 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( y  gcd 
M )  e.  ZZ )
235 1z 8746 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
236 zdceq 8792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  gcd  M
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( y  gcd  M )  =  1 )
237234, 235, 236sylancl 404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  -> DECID 
( y  gcd  M
)  =  1 )
238237ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0..^ M )DECID  ( y  gcd  M )  =  1 )
239229, 238ssfirab 6622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }  e.  Fin )
24073, 239syl5eqel 2174 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
241 fzofig 9804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
242208, 188, 241sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
243 elfzoelz 9523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  y  e.  ZZ )
244243adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  y  e.  ZZ )
245188adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
246244, 245gcdcld 11053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( y  gcd 
N )  e.  NN0 )
247246nn0zd 8836 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( y  gcd 
N )  e.  ZZ )
248 1zzd 8747 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  1  e.  ZZ )
249 zdceq 8792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( y  gcd  N )  =  1 )
250247, 248, 249syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  -> DECID 
( y  gcd  N
)  =  1 )
251250ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0..^ N )DECID  ( y  gcd  N )  =  1 )
252242, 251ssfirab 6622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin )
253106, 252syl5eqel 2174 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
254 xpfi 6619 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( U  X.  V
)  e.  Fin )
255240, 253, 254syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  e.  Fin )
256 hashen 10157 . . . . 5  |-  ( ( ( U  X.  V
)  e.  Fin  /\  W  e.  Fin )  ->  ( ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
) )
257255, 224, 256syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
) )
258227, 257mpbird 165 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( `  W )
)
259 hashxp 10199 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
260240, 253, 259syl2anc 403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
261258, 260eqtr3d 2122 . 2  |-  ( ph  ->  ( `  W )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
26214, 20nnmulcld 8442 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
263 dfphi2 11289 . . . 4  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( `  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 } ) )
2648rabeqi 2612 . . . . . 6  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
2653, 264eqtri 2108 . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
266265fveq2i 5292 . . . 4  |-  ( `  W
)  =  ( `  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 } )
267263, 266syl6eqr 2138 . . 3  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( `  W )
)
268262, 267syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( `  W
) )
269 dfphi2 11289 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( `  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd 
M )  =  1 } ) )
27073fveq2i 5292 . . . . 5  |-  ( `  U
)  =  ( `  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 } )
271269, 270syl6eqr 2138 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( `  U )
)
27214, 271syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  M
)  =  ( `  U
) )
273 dfphi2 11289 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd 
N )  =  1 } ) )
274106fveq2i 5292 . . . . 5  |-  ( `  V
)  =  ( `  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 } )
275273, 274syl6eqr 2138 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  V )
)
27620, 275syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  =  ( `  V
) )
277272, 276oveq12d 5652 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
278261, 268, 2773eqtr4d 2130 1  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   {crab 2363   _Vcvv 2619    C_ wss 2997   <.cop 3444   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891    X. cxp 4426   `'ccnv 4427   dom cdm 4428   "cima 4431   Fun wfun 4996    Fn wfn 4997   -->wf 4998   -1-1->wf1 4999   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634    ~~ cen 6435   Fincfn 6437   0cc0 7329   1c1 7330    x. cmul 7334    <_ cle 7502   NNcn 8394   ZZcz 8720   QQcq 9073  ..^cfzo 9518    mod cmo 9694  ♯chash 10148    || cdvds 10889    gcd cgcd 11031   phicphi 11279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-sup 6658  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10890  df-gcd 11032  df-phi 11280
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