Theorem phimullem 13003

Description: Lemma for phimul 13004. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	|- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
crth.2	|- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
crth.3	|- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
crth.4	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
phimul.4	|- U = { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 }
phimul.5	|- V = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
phimul.6	|- W = { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }

Assertion

Ref	Expression
phimullem	|- ( ph -> ( phi ` ( M x. N ) ) = ( ( phi ` M ) x. ( phi ` N ) ) )

Distinct variable groups:   y, F   x, M   x, N   x, S, y   x, T   ph, x, y   y, M   y, N

Allowed substitution hints:   T( y)   U( x, y)   F( x)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem phimullem

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( y gcd ( M x. N ) ) = ( w gcd ( M x. N ) ) )
2	1	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 <-> ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
3		phimul.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }
4	2, 3	elrab2 2985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. W <-> ( w e. S /\ ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
5	4	simplbi 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. W -> w e. S )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. S )
7		elfzoelz 10554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> w e. ZZ )
8		crth.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
9	7, 8	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. S -> w e. ZZ )
10	6, 9	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. ZZ )
11		zq 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ZZ -> w e. QQ )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. QQ )
13		crth.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
14	13	simp1d 1040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> M e. NN )
16		nnq 10033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> M e. QQ )
18	15	nngt0d 9348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> 0 < M )
19	12, 17, 18	modqcld 10765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod M ) e. QQ )
20	13	simp2d 1041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N e. NN )
22		nnq 10033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N e. QQ )
24	21	nngt0d 9348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> 0 < N )
25	12, 23, 24	modqcld 10765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod N ) e. QQ )
26		opexg 4368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w mod M ) e. QQ /\ ( w mod N ) e. QQ ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. _V )
27	19, 25, 26	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. _V )
28		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( x mod M ) = ( w mod M ) )
29		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( x mod N ) = ( w mod N ) )
30	28, 29	opeq12d 3912	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
31		crth.3	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
32	30, 31	fvmptg 5781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. S /\ <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` w ) = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
33	6, 27, 32	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( F ` w ) = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
34	5, 8	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. W -> w e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
36	35, 7	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. ZZ )
37		zmodfzo 10784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( w mod M ) e. ( 0..^ M ) )
38	36, 15, 37	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod M ) e. ( 0..^ M ) )
39		modgcd 12768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( ( w mod M ) gcd M ) = ( w gcd M ) )
40	36, 15, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod M ) gcd M ) = ( w gcd M ) )
41	15	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> M e. ZZ )
42		gcddvds 12740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
43	36, 41, 42	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
44	43	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) || w )
45		nnne0 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
46		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w = 0 /\ M = 0 ) -> M = 0 )
47	46	necon3ai 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
48	15, 45, 47	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
49		gcdn0cl 12739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ M = 0 ) ) -> ( w gcd M ) e. NN )
50	36, 41, 48, 49	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) e. NN )
51	50	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) e. ZZ )
52	21	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N e. ZZ )
53	43	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) || M )
54	51, 41, 52, 53	dvdsmultr1d 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) || ( M x. N ) )
55	15, 21	nnmulcld 9353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( M x. N ) e. NN )
56	55	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
57		nnne0 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M x. N ) e. NN -> ( M x. N ) =/= 0 )
58		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) -> ( M x. N ) = 0 )
59	58	necon3ai 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M x. N ) =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) )
60	55, 57, 59	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) )
61		dvdslegcd 12741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w gcd M ) e. ZZ /\ w e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) ) -> ( ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd M ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
62	51, 36, 56, 60, 61	syl31anc 1281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd M ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
63	44, 54, 62	mp2and 437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) )
64	4	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. W -> ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 )
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 )
66	63, 65	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) <_ 1 )
67		nnle1eq1 9328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w gcd M ) e. NN -> ( ( w gcd M ) <_ 1 <-> ( w gcd M ) = 1 ) )
68	50, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd M ) <_ 1 <-> ( w gcd M ) = 1 ) )
69	66, 68	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) = 1 )
70	40, 69	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod M ) gcd M ) = 1 )
71		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( w mod M ) -> ( y gcd M ) = ( ( w mod M ) gcd M ) )
72	71	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( w mod M ) -> ( ( y gcd M ) = 1 <-> ( ( w mod M ) gcd M ) = 1 ) )
73		phimul.4	. . . . . . . . . . . 12 |- U = { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 }
74	72, 73	elrab2 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w mod M ) e. U <-> ( ( w mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( w mod M ) gcd M ) = 1 ) )
75	38, 70, 74	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod M ) e. U )
76		zmodfzo 10784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( w mod N ) e. ( 0..^ N ) )
77	36, 21, 76	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod N ) e. ( 0..^ N ) )
78		modgcd 12768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( w mod N ) gcd N ) = ( w gcd N ) )
79	36, 21, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod N ) gcd N ) = ( w gcd N ) )
80		gcddvds 12740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
81	36, 52, 80	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
82	81	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) || w )
83	81	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) || N )
84		dvdsmul2 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
85	41, 52, 84	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N || ( M x. N ) )
86		nnne0 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
87		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
88	87	necon3ai 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
89	21, 86, 88	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
90		gcdn0cl 12739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( w gcd N ) e. NN )
91	36, 52, 89, 90	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) e. NN )
92	91	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) e. ZZ )
93		dvdstr 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w gcd N ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( ( w gcd N ) || N /\ N || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) )
94	92, 52, 56, 93	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd N ) || N /\ N || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) )
95	83, 85, 94	mp2and 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) || ( M x. N ) )
96		dvdslegcd 12741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w gcd N ) e. ZZ /\ w e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) ) -> ( ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
97	92, 36, 56, 60, 96	syl31anc 1281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
98	82, 95, 97	mp2and 437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) )
99	98, 65	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) <_ 1 )
100		nnle1eq1 9328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w gcd N ) e. NN -> ( ( w gcd N ) <_ 1 <-> ( w gcd N ) = 1 ) )
101	91, 100	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd N ) <_ 1 <-> ( w gcd N ) = 1 ) )
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) = 1 )
103	79, 102	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod N ) gcd N ) = 1 )
104		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( w mod N ) -> ( y gcd N ) = ( ( w mod N ) gcd N ) )
105	104	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( w mod N ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( w mod N ) gcd N ) = 1 ) )
106		phimul.5	. . . . . . . . . . . 12 |- V = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
107	105, 106	elrab2 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w mod N ) e. V <-> ( ( w mod N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( w mod N ) gcd N ) = 1 ) )
108	77, 103, 107	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod N ) e. V )
109		opelxpi 4806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w mod M ) e. U /\ ( w mod N ) e. V ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. ( U X. V ) )
110	75, 108, 109	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. ( U X. V ) )
111	33, 110	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( F ` w ) e. ( U X. V ) )
112	111	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. w e. W ( F ` w ) e. ( U X. V ) )
113		crth.2	. . . . . . . . . 10 |- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
114	8, 113, 31, 13	crth 13002	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )
115		f1ofn 5640	. . . . . . . . 9 |- ( F : S -1-1-onto-> T -> F Fn S )
116		fnfun 5478	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn S -> Fun F )
117	114, 115, 116	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun F )
118		ssrab2 3333	. . . . . . . . . 10 |- { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } C_ S
119	3, 118	eqsstri 3280	. . . . . . . . 9 |- W C_ S
120		fndm 5480	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn S -> dom F = S )
121	114, 115, 120	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = S )
122	119, 121	sseqtrrid 3299	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W C_ dom F )
123		funimass4 5753	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ W C_ dom F ) -> ( ( F " W ) C_ ( U X. V ) <-> A. w e. W ( F ` w ) e. ( U X. V ) ) )
124	117, 122, 123	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F " W ) C_ ( U X. V ) <-> A. w e. W ( F ` w ) e. ( U X. V ) ) )
125	112, 124	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F " W ) C_ ( U X. V ) )
126		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } C_ ( 0..^ M )
127	73, 126	eqsstri 3280	. . . . . . . . . . . . 13 |- U C_ ( 0..^ M )
128		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
129	106, 128	eqsstri 3280	. . . . . . . . . . . . 13 |- V C_ ( 0..^ N )
130		xpss12 4882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U C_ ( 0..^ M ) /\ V C_ ( 0..^ N ) ) -> ( U X. V ) C_ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
131	127, 129, 130	mp2an 430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U X. V ) C_ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
132	131, 113	sseqtrri 3283	. . . . . . . . . . 11 |- ( U X. V ) C_ T
133	132	sseli 3244	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U X. V ) -> z e. T )
134		f1ocnvfv2 5984	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : S -1-1-onto-> T /\ z e. T ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
135	114, 133, 134	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
136		f1ocnv 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : S -1-1-onto-> T -> `' F : T -1-1-onto-> S )
137		f1of 5639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F : T -1-1-onto-> S -> `' F : T --> S )
138	114, 136, 137	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> `' F : T --> S )
139		ffvelcdm 5841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F : T --> S /\ z e. T ) -> ( `' F ` z ) e. S )
140	138, 133, 139	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. S )
141	140, 8	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
142		elfzoelz 10554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' F ` z ) e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> ( `' F ` z ) e. ZZ )
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. ZZ )
144	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> M e. NN )
145		modgcd 12768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' F ` z ) e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = ( ( `' F ` z ) gcd M ) )
146	143, 144, 145	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = ( ( `' F ` z ) gcd M ) )
147		zq 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( `' F ` z ) e. ZZ -> ( `' F ` z ) e. QQ )
148	143, 147	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. QQ )
149	144, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> M e. QQ )
150	144	nngt0d 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> 0 < M )
151	148, 149, 150	modqcld 10765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod M ) e. QQ )
152	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> N e. NN )
153	152, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> N e. QQ )
154	152	nngt0d 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> 0 < N )
155	148, 153, 154	modqcld 10765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod N ) e. QQ )
156		opexg 4368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. QQ /\ ( ( `' F ` z ) mod N ) e. QQ ) -> <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. _V )
157	151, 155, 156	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. _V )
158		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( `' F ` z ) -> ( w mod M ) = ( ( `' F ` z ) mod M ) )
159		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( `' F ` z ) -> ( w mod N ) = ( ( `' F ` z ) mod N ) )
160	158, 159	opeq12d 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( `' F ` z ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
161	30	cbvmptv 4227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. ) = ( w e. S |-> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
162	31, 161	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F = ( w e. S |-> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
163	160, 162	fvmptg 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( `' F ` z ) e. S /\ <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. _V ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
164	140, 157, 163	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
165	135, 164	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> z = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
166		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> z e. ( U X. V ) )
167	165, 166	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. ( U X. V ) )
168		opelxp 4804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. ( U X. V ) <-> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U /\ ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V ) )
169	167, 168	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U /\ ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V ) )
170	169	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U )
171		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod M ) -> ( y gcd M ) = ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) )
172	171	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod M ) -> ( ( y gcd M ) = 1 <-> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 ) )
173	172, 73	elrab2 2985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U <-> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 ) )
174	170, 173	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 ) )
175	174	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 )
176	146, 175	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) gcd M ) = 1 )
177		modgcd 12768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' F ` z ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = ( ( `' F ` z ) gcd N ) )
178	143, 152, 177	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = ( ( `' F ` z ) gcd N ) )
179	169	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V )
180		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod N ) -> ( y gcd N ) = ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) )
181	180	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod N ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 ) )
182	181, 106	elrab2 2985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V <-> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 ) )
183	179, 182	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 ) )
184	183	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 )
185	178, 184	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) gcd N ) = 1 )
186	14	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ZZ )
187	186	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> M e. ZZ )
188	20	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
189	188	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> N e. ZZ )
190		rpmul 12876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' F ` z ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( `' F ` z ) gcd M ) = 1 /\ ( ( `' F ` z ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
191	143, 187, 189, 190	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( ( `' F ` z ) gcd M ) = 1 /\ ( ( `' F ` z ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
192	176, 185, 191	mp2and 437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 )
193		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( y gcd ( M x. N ) ) = ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) )
194	193	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 <-> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
195	194, 3	elrab2 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F ` z ) e. W <-> ( ( `' F ` z ) e. S /\ ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
196	140, 192, 195	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. W )
197		funfvima2 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ W C_ dom F ) -> ( ( `' F ` z ) e. W -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) ) )
198	117, 122, 197	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( `' F ` z ) e. W -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) ) )
199	198	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( `' F ` z ) e. W ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) )
200	196, 199	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) )
201	135, 200	eqeltrrd 2316	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> z e. ( F " W ) )
202	201	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. ( U X. V ) -> z e. ( F " W ) ) )
203	202	ssrdv 3254	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U X. V ) C_ ( F " W ) )
204	125, 203	eqssd 3265	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " W ) = ( U X. V ) )
205		f1of1 5638	. . . . . . 7 |- ( F : S -1-1-onto-> T -> F : S -1-1-> T )
206	114, 205	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> F : S -1-1-> T )
207	119	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> W C_ S )
208		0z 9655	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
209	186, 188	zmulcld 9774	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M x. N ) e. ZZ )
210		fzofig 10869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
211	208, 209, 210	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin )
212	8, 211	eqeltrid 2325	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. Fin )
213		elfzoelz 10554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> y e. ZZ )
214	213, 8	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
215	214	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> y e. ZZ )
216	209	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
217	215, 216	gcdcld 12745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( y gcd ( M x. N ) ) e. NN0 )
218	217	nn0zd 9766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( y gcd ( M x. N ) ) e. ZZ )
219		1zzd 9671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> 1 e. ZZ )
220		zdceq 9720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y gcd ( M x. N ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 )
221	218, 219, 220	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> DECID ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 )
222	221	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. S DECID ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 )
223	212, 222	ssfirab 7244	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } e. Fin )
224	3, 223	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Fin )
225		f1imaeng 7079	. . . . . 6 |- ( ( F : S -1-1-> T /\ W C_ S /\ W e. Fin ) -> ( F " W ) ~~ W )
226	206, 207, 224, 225	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " W ) ~~ W )
227	204, 226	eqbrtrrd 4154	. . . 4 |- ( ph -> ( U X. V ) ~~ W )
228		fzofig 10869	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0..^ M ) e. Fin )
229	208, 186, 228	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0..^ M ) e. Fin )
230		elfzoelz 10554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ M ) -> y e. ZZ )
231	230	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> y e. ZZ )
232	186	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> M e. ZZ )
233	231, 232	gcdcld 12745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> ( y gcd M ) e. NN0 )
234	233	nn0zd 9766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> ( y gcd M ) e. ZZ )
235		1z 9670	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
236		zdceq 9720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y gcd M ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( y gcd M ) = 1 )
237	234, 235, 236	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ M ) ) -> DECID ( y gcd M ) = 1 )
238	237	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. ( 0..^ M )DECID ( y gcd M ) = 1 )
239	229, 238	ssfirab 7244	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } e. Fin )
240	73, 239	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. Fin )
241		fzofig 10869	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
242	208, 188, 241	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
243		elfzoelz 10554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> y e. ZZ )
244	243	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> y e. ZZ )
245	188	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
246	244, 245	gcdcld 12745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> ( y gcd N ) e. NN0 )
247	246	nn0zd 9766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> ( y gcd N ) e. ZZ )
248		1zzd 9671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> 1 e. ZZ )
249		zdceq 9720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( y gcd N ) = 1 )
250	247, 248, 249	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 0..^ N ) ) -> DECID ( y gcd N ) = 1 )
251	250	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. ( 0..^ N )DECID ( y gcd N ) = 1 )
252	242, 251	ssfirab 7244	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } e. Fin )
253	106, 252	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. Fin )
254		xpfi 7239	. . . . . 6 |- ( ( U e. Fin /\ V e. Fin ) -> ( U X. V ) e. Fin )
255	240, 253, 254	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( U X. V ) e. Fin )
256		hashen 11223	. . . . 5 |- ( ( ( U X. V ) e. Fin /\ W e. Fin ) -> ( (♯ ` ( U X. V ) ) = (♯ ` W ) <-> ( U X. V ) ~~ W ) )
257	255, 224, 256	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( (♯ ` ( U X. V ) ) = (♯ ` W ) <-> ( U X. V ) ~~ W ) )
258	227, 257	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( U X. V ) ) = (♯ ` W ) )
259		hashxp 11267	. . . 4 |- ( ( U e. Fin /\ V e. Fin ) -> (♯ ` ( U X. V ) ) = ( (♯ ` U ) x. (♯ ` V ) ) )
260	240, 253, 259	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` ( U X. V ) ) = ( (♯ ` U ) x. (♯ ` V ) ) )
261	258, 260	eqtr3d 2273	. 2 |- ( ph -> (♯ ` W ) = ( (♯ ` U ) x. (♯ ` V ) ) )
262	14, 20	nnmulcld 9353	. . 3 |- ( ph -> ( M x. N ) e. NN )
263		dfphi2 12998	. . . 4 |- ( ( M x. N ) e. NN -> ( phi ` ( M x. N ) ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } ) )
264	8	rabeqi 2814	. . . . . 6 |- { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } = { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }
265	3, 264	eqtri 2259	. . . . 5 |- W = { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }
266	265	fveq2i 5698	. . . 4 |- (♯ ` W ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } )
267	263, 266	eqtr4di 2289	. . 3 |- ( ( M x. N ) e. NN -> ( phi ` ( M x. N ) ) = (♯ ` W ) )
268	262, 267	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( phi ` ( M x. N ) ) = (♯ ` W ) )
269		dfphi2 12998	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( phi ` M ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } ) )
270	73	fveq2i 5698	. . . . 5 |- (♯ ` U ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } )
271	269, 270	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( phi ` M ) = (♯ ` U ) )
272	14, 271	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` M ) = (♯ ` U ) )
273		dfphi2 12998	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } ) )
274	106	fveq2i 5698	. . . . 5 |- (♯ ` V ) = (♯ ` { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } )
275	273, 274	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = (♯ ` V ) )
276	20, 275	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` N ) = (♯ ` V ) )
277	272, 276	oveq12d 6103	. 2 |- ( ph -> ( ( phi ` M ) x. ( phi ` N ) ) = ( (♯ ` U ) x. (♯ ` V ) ) )
278	261, 268, 277	3eqtr4d 2281	1 |- ( ph -> ( phi ` ( M x. N ) ) = ( ( phi ` M ) x. ( phi ` N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   <.cop 3712   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   `'ccnv 4773   dom cdm 4774   "cima 4777   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372   -->wf 5373   -1-1->wf1 5374   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   0cc0 8179   1c1 8180   x. cmul 8184   <_ cle 8361   NNcn 9304   ZZcz 9644   QQcq 10019  ..^cfzo 10549   mod cmo 10759  ♯chash 11214   || cdvds 12554   gcd cgcd 12730   phicphi 12987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-gcd 12731  df-phi 12989

This theorem is used by:  phimul  13004