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Theorem phimullem 10981
Description: Lemma for phimul 10982. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crth.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crth.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crth.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
phimul.4  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
phimul.5  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
phimul.6  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
Assertion
Ref Expression
phimullem  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Distinct variable groups:    y, F    x, M    x, N    x, S, y    x, T    ph, x, y   
y, M    y, N
Allowed substitution hints:    T( y)    U( x, y)    F( x)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem phimullem
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
21eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
3 phimul.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
42, 3elrab2 2762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  W  <->  ( w  e.  S  /\  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
54simplbi 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  S )
65adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  S )
7 elfzoelz 9448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
8 crth.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
97, 8eleq2s 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  S  ->  w  e.  ZZ )
106, 9syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ZZ )
11 zq 9006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  QQ )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  QQ )
13 crth.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
1413simp1d 951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1514adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  NN )
16 nnq 9013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  QQ )
1815nngt0d 8359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  0  <  M )
1912, 17, 18modqcld 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  QQ )
2013simp2d 952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2120adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  NN )
22 nnq 9013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
2321, 22syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  QQ )
2421nngt0d 8359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  0  <  N )
2512, 23, 24modqcld 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  QQ )
26 opexg 4019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  mod  M
)  e.  QQ  /\  ( w  mod  N )  e.  QQ )  ->  <. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V )
2719, 25, 26syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V )
28 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  M )  =  ( w  mod  M ) )
29 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  N )  =  ( w  mod  N ) )
3028, 29opeq12d 3604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >. )
31 crth.3 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
3230, 31fvmptg 5325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  S  /\  <.
( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V )  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
336, 27, 32syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
345, 8syl6eleq 2175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
3534adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
3635, 7syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ZZ )
37 zmodfzo 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( w  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
3836, 15, 37syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
39 modgcd 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  M )  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
4036, 15, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
4115nnzd 8763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
42 gcddvds 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4336, 41, 42syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4443simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  w )
45 nnne0 8344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
46 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
4746necon3ai 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
4815, 45, 473syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
49 gcdn0cl 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  M )  e.  NN )
5036, 41, 48, 49syl21anc 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  NN )
5150nnzd 8763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  ZZ )
5221nnzd 8763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  ZZ )
5343simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  M )
5451, 41, 52, 53dvdsmultr1d 10615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  ( M  x.  N
) )
5515, 21nnmulcld 8364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  NN )
5655nnzd 8763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
57 nnne0 8344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( M  x.  N )  =/=  0 )
58 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 )  ->  ( M  x.  N )  =  0 )
5958necon3ai 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
6055, 57, 593syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
61 dvdslegcd 10736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  M )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6251, 36, 56, 60, 61syl31anc 1173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6344, 54, 62mp2and 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
644simprbi 269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  W  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
6564adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
6663, 65breqtrd 3835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  1 )
67 nnle1eq1 8340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  M )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
6850, 67syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
6966, 68mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  =  1 )
7040, 69eqtrd 2115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
71 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( y  gcd  M )  =  ( ( w  mod  M
)  gcd  M )
)
7271eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( (
y  gcd  M )  =  1  <->  ( (
w  mod  M )  gcd  M )  =  1 ) )
73 phimul.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
7472, 73elrab2 2762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  M )  e.  U  <->  ( (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( w  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
7538, 70, 74sylanbrc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  U )
76 zmodfzo 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( w  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
7736, 21, 76syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
78 modgcd 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  N )  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
7936, 21, 78syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
80 gcddvds 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8136, 52, 80syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8281simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  w )
8381simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  N )
84 dvdsmul2 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
8541, 52, 84syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  ||  ( M  x.  N
) )
86 nnne0 8344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
87 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
8887necon3ai 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
8921, 86, 883syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
90 gcdn0cl 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  N )  e.  NN )
9136, 52, 89, 90syl21anc 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  NN )
9291nnzd 8763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  ZZ )
93 dvdstr 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9492, 52, 56, 93syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9583, 85, 94mp2and 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  ( M  x.  N
) )
96 dvdslegcd 10736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  N )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
9792, 36, 56, 60, 96syl31anc 1173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
9882, 95, 97mp2and 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
9998, 65breqtrd 3835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  1 )
100 nnle1eq1 8340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  N )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
10191, 100syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
10299, 101mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  =  1 )
10379, 102eqtrd 2115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
104 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( y  gcd  N )  =  ( ( w  mod  N
)  gcd  N )
)
105104eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( (
y  gcd  N )  =  1  <->  ( (
w  mod  N )  gcd  N )  =  1 ) )
106 phimul.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
107105, 106elrab2 2762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  N )  e.  V  <->  ( (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( w  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
10877, 103, 107sylanbrc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  V )
109 opelxpi 4432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  mod  M
)  e.  U  /\  ( w  mod  N )  e.  V )  ->  <. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
11075, 108, 109syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V ) )
11133, 110eqeltrd 2159 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V
) )
112111ralrimiva 2440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) )
113 crth.2 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
1148, 113, 31, 13crth 10980 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
115 f1ofn 5202 . . . . . . . . 9  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F  Fn  S )
116 fnfun 5064 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  S  ->  Fun  F )
117114, 115, 1163syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
118 ssrab2 3090 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  C_  S
1193, 118eqsstri 3040 . . . . . . . . 9  |-  W  C_  S
120 fndm 5066 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  S  ->  dom  F  =  S )
121114, 115, 1203syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  S )
122119, 121syl5sseqr 3059 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  dom  F )
123 funimass4 5300 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
124117, 122, 123syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
125112, 124mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  C_  ( U  X.  V ) )
126 ssrab2 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  C_  (
0..^ M )
12773, 126eqsstri 3040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  C_  ( 0..^ M )
128 ssrab2 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
129106, 128eqsstri 3040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  C_  ( 0..^ N )
130 xpss12 4503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  C_  ( 0..^ M )  /\  V  C_  ( 0..^ N ) )  ->  ( U  X.  V )  C_  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
131127, 129, 130mp2an 417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  X.  V )  C_  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
132131, 113sseqtr4i 3043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  X.  V )  C_  T
133132sseli 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  T )
134 f1ocnvfv2 5497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> T  /\  z  e.  T )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
135114, 133, 134syl2an 283 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
136 f1ocnv 5214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  `' F : T -1-1-onto-> S )
137 f1of 5201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F : T -1-1-onto-> S  ->  `' F : T --> S )
138114, 136, 1373syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : T --> S )
139 ffvelrn 5377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F : T --> S  /\  z  e.  T )  ->  ( `' F `  z )  e.  S
)
140138, 133, 139syl2an 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  S )
141140, 8syl6eleq 2175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
142 elfzoelz 9448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
143141, 142syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
14414adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  NN )
145 modgcd 10762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M
) )
146143, 144, 145syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M ) )
147 zq 9006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  ->  ( `' F `  z )  e.  QQ )
148143, 147syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  QQ )
149144, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  QQ )
150144nngt0d 8359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  0  <  M )
151148, 149, 150modqcld 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  QQ )
15220adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  NN )
153152, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  QQ )
154152nngt0d 8359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  0  <  N )
155148, 153, 154modqcld 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  QQ )
156 opexg 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  QQ  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  QQ )  ->  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >.  e.  _V )
157151, 155, 156syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  _V )
158 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  M )  =  ( ( `' F `  z )  mod  M ) )
159 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  N )  =  ( ( `' F `  z )  mod  N ) )
160158, 159opeq12d 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
16130cbvmptv 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  S  |->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >. )  =  ( w  e.  S  |->  <.
( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
16231, 161eqtri 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F  =  ( w  e.  S  |-> 
<. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
163160, 162fvmptg 5325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  S  /\  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >.  e.  _V )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
164140, 157, 163syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
165135, 164eqtr3d 2117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >. )
166 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( U  X.  V
) )
167165, 166eqeltrrd 2160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
168 opelxp 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
)  <->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N )  e.  V ) )
169167, 168sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V ) )
170169simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U )
171 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( y  gcd  M
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )
)
172171eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( ( y  gcd 
M )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
173172, 73elrab2 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
174170, 173sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
175174simprd 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
176146, 175eqtr3d 2117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  M
)  =  1 )
177 modgcd 10762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N
) )
178143, 152, 177syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N ) )
179169simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V )
180 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( y  gcd  N
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )
)
181180eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( ( y  gcd 
N )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
182181, 106elrab2 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
183179, 182sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
184183simprd 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
185178, 184eqtr3d 2117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  N
)  =  1 )
18614nnzd 8763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
187186adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  ZZ )
18820nnzd 8763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
189188adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  ZZ )
190 rpmul 10860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
191143, 187, 189, 190syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
192176, 185, 191mp2and 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 )
193 oveq1 5598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
) )
194193eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
195194, 3elrab2 2762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  W  <->  ( ( `' F `  z )  e.  S  /\  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
196140, 192, 195sylanbrc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  W )
197 funfvima2 5467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
198117, 122, 197syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
199198imp 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( `' F `  z )  e.  W )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
200196, 199syldan 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
201135, 200eqeltrrd 2160 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( F " W
) )
202201ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  ( F " W ) ) )
203202ssrdv 3016 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( F " W ) )
204125, 203eqssd 3027 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  =  ( U  X.  V ) )
205 f1of1 5200 . . . . . . 7  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F : S -1-1-> T )
206114, 205syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
207119a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  C_  S )
208 0z 8657 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
209186, 188zmulcld 8770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
210 fzofig 9728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin )
211208, 209, 210sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin )
2128, 211syl5eqel 2169 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
213 elfzoelz 9448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  e.  ZZ )
214213, 8eleq2s 2177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
215214adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ZZ )
216209adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
217215, 216gcdcld 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  e. 
NN0 )
218217nn0zd 8762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  e.  ZZ )
219 1zzd 8673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  ZZ )
220 zdceq 8718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
221218, 219, 220syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  -> DECID  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 )
222221ralrimiva 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S DECID  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
223212, 222ssfirab 6568 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }  e.  Fin )
2243, 223syl5eqel 2169 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
225 f1imaeng 6439 . . . . . 6  |-  ( ( F : S -1-1-> T  /\  W  C_  S  /\  W  e.  Fin )  ->  ( F " W
)  ~~  W )
226206, 207, 224, 225syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  ~~  W )
227204, 226eqbrtrrd 3833 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  ~~  W )
228 fzofig 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ M )  e.  Fin )
229208, 186, 228sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ M )  e.  Fin )
230 elfzoelz 9448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0..^ M )  ->  y  e.  ZZ )
231230adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  y  e.  ZZ )
232186adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  ZZ )
233231, 232gcdcld 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( y  gcd 
M )  e.  NN0 )
234233nn0zd 8762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( y  gcd 
M )  e.  ZZ )
235 1z 8672 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
236 zdceq 8718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  gcd  M
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( y  gcd  M )  =  1 )
237234, 235, 236sylancl 404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  -> DECID 
( y  gcd  M
)  =  1 )
238237ralrimiva 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0..^ M )DECID  ( y  gcd  M )  =  1 )
239229, 238ssfirab 6568 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }  e.  Fin )
24073, 239syl5eqel 2169 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
241 fzofig 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
242208, 188, 241sylancr 405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
243 elfzoelz 9448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  y  e.  ZZ )
244243adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  y  e.  ZZ )
245188adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
246244, 245gcdcld 10740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( y  gcd 
N )  e.  NN0 )
247246nn0zd 8762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( y  gcd 
N )  e.  ZZ )
248 1zzd 8673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  1  e.  ZZ )
249 zdceq 8718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( y  gcd  N )  =  1 )
250247, 248, 249syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  -> DECID 
( y  gcd  N
)  =  1 )
251250ralrimiva 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0..^ N )DECID  ( y  gcd  N )  =  1 )
252242, 251ssfirab 6568 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin )
253106, 252syl5eqel 2169 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
254 xpfi 6565 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( U  X.  V
)  e.  Fin )
255240, 253, 254syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  e.  Fin )
256 hashen 10027 . . . . 5  |-  ( ( ( U  X.  V
)  e.  Fin  /\  W  e.  Fin )  ->  ( ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
) )
257255, 224, 256syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
) )
258227, 257mpbird 165 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( `  W )
)
259 hashxp 10069 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
260240, 253, 259syl2anc 403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
261258, 260eqtr3d 2117 . 2  |-  ( ph  ->  ( `  W )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
26214, 20nnmulcld 8364 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
263 dfphi2 10976 . . . 4  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( `  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 } ) )
2648rabeqi 2605 . . . . . 6  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
2653, 264eqtri 2103 . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
266265fveq2i 5256 . . . 4  |-  ( `  W
)  =  ( `  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 } )
267263, 266syl6eqr 2133 . . 3  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( `  W )
)
268262, 267syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( `  W
) )
269 dfphi2 10976 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( `  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd 
M )  =  1 } ) )
27073fveq2i 5256 . . . . 5  |-  ( `  U
)  =  ( `  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 } )
271269, 270syl6eqr 2133 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( `  U )
)
27214, 271syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  M
)  =  ( `  U
) )
273 dfphi2 10976 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd 
N )  =  1 } ) )
274106fveq2i 5256 . . . . 5  |-  ( `  V
)  =  ( `  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 } )
275273, 274syl6eqr 2133 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  V )
)
27620, 275syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  =  ( `  V
) )
277272, 276oveq12d 5609 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
278261, 268, 2773eqtr4d 2125 1  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103  DECID wdc 776    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   A.wral 2353   {crab 2357   _Vcvv 2612    C_ wss 2984   <.cop 3425   class class class wbr 3811    |-> cmpt 3865    X. cxp 4399   `'ccnv 4400   dom cdm 4401   "cima 4404   Fun wfun 4963    Fn wfn 4964   -->wf 4965   -1-1->wf1 4966   -1-1-onto->wf1o 4968   ` cfv 4969  (class class class)co 5591    ~~ cen 6385   Fincfn 6387   0cc0 7253   1c1 7254    x. cmul 7258    <_ cle 7426   NNcn 8316   ZZcz 8646   QQcq 8999  ..^cfzo 9443    mod cmo 9618  ♯chash 10018    || cdvds 10576    gcd cgcd 10718   phicphi 10966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-frec 6088  df-1o 6113  df-oadd 6117  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-q 9000  df-rp 9030  df-fz 9320  df-fzo 9444  df-fl 9566  df-mod 9619  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-ihash 10019  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259  df-dvds 10577  df-gcd 10719  df-phi 10967
This theorem is referenced by:  phimul  10982
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