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Theorem phimullem 11928
Description: Lemma for phimul 11929. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crth.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crth.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crth.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
phimul.4  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
phimul.5  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
phimul.6  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
Assertion
Ref Expression
phimullem  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Distinct variable groups:    y, F    x, M    x, N    x, S, y    x, T    ph, x, y   
y, M    y, N
Allowed substitution hints:    T( y)    U( x, y)    F( x)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem phimullem
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
21eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
3 phimul.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }
42, 3elrab2 2844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  W  <->  ( w  e.  S  /\  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 ) )
54simplbi 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  S )
65adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  S )
7 elfzoelz 9951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
8 crth.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
97, 8eleq2s 2235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  S  ->  w  e.  ZZ )
106, 9syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ZZ )
11 zq 9441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  QQ )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  QQ )
13 crth.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
1413simp1d 994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1514adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  NN )
16 nnq 9448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  QQ )
1815nngt0d 8784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  0  <  M )
1912, 17, 18modqcld 10128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  QQ )
2013simp2d 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2120adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  NN )
22 nnq 9448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
2321, 22syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  QQ )
2421nngt0d 8784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  0  <  N )
2512, 23, 24modqcld 10128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  QQ )
26 opexg 4154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  mod  M
)  e.  QQ  /\  ( w  mod  N )  e.  QQ )  ->  <. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V )
2719, 25, 26syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V )
28 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  M )  =  ( w  mod  M ) )
29 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
x  mod  N )  =  ( w  mod  N ) )
3028, 29opeq12d 3717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >. )
31 crth.3 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
3230, 31fvmptg 5501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  S  /\  <.
( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  _V )  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
336, 27, 32syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  =  <. ( w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.
)
345, 8eleqtrdi 2233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  W  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
3534adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
3635, 7syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  w  e.  ZZ )
37 zmodfzo 10147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( w  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
3836, 15, 37syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
39 modgcd 11706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  M )  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
4036, 15, 39syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
4115nnzd 9192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
42 gcddvds 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4336, 41, 42syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
4443simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  w )
45 nnne0 8768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
46 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  =  0  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
4746necon3ai 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
4815, 45, 473syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0
) )
49 gcdn0cl 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  M  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  M )  e.  NN )
5036, 41, 48, 49syl21anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  NN )
5150nnzd 9192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  e.  ZZ )
5221nnzd 9192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  e.  ZZ )
5343simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  M )
5451, 41, 52, 53dvdsmultr1d 11559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  ||  ( M  x.  N
) )
5515, 21nnmulcld 8789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  NN )
5655nnzd 9192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
57 nnne0 8768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( M  x.  N )  =/=  0 )
58 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 )  ->  ( M  x.  N )  =  0 )
5958necon3ai 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  x.  N )  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
6055, 57, 593syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )
61 dvdslegcd 11680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  M )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  M
)  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6251, 36, 56, 60, 61syl31anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  M
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
6344, 54, 62mp2and 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
644simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  W  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
6564adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
6663, 65breqtrd 3958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  <_  1 )
67 nnle1eq1 8764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  M )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
6850, 67syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  M
)  <_  1  <->  ( w  gcd  M )  =  1 ) )
6966, 68mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  M )  =  1 )
7040, 69eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
71 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( y  gcd  M )  =  ( ( w  mod  M
)  gcd  M )
)
7271eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  M )  ->  ( (
y  gcd  M )  =  1  <->  ( (
w  mod  M )  gcd  M )  =  1 ) )
73 phimul.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }
7472, 73elrab2 2844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  M )  e.  U  <->  ( (
w  mod  M )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( w  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
7538, 70, 74sylanbrc 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  M )  e.  U )
76 zmodfzo 10147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( w  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
7736, 21, 76syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
78 modgcd 11706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( w  mod  N )  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
7936, 21, 78syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  ( w  gcd  N ) )
80 gcddvds 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8136, 52, 80syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  N ) )
8281simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  w )
8381simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  N )
84 dvdsmul2 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
8541, 52, 84syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  N  ||  ( M  x.  N
) )
86 nnne0 8768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
87 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
8887necon3ai 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
8921, 86, 883syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0
) )
90 gcdn0cl 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( w  gcd  N )  e.  NN )
9136, 52, 89, 90syl21anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  NN )
9291nnzd 9192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  e.  ZZ )
93 dvdstr 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9492, 52, 56, 93syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
9583, 85, 94mp2and 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  ||  ( M  x.  N
) )
96 dvdslegcd 11680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( w  gcd  N )  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  /\  -.  ( w  =  0  /\  ( M  x.  N
)  =  0 ) )  ->  ( (
( w  gcd  N
)  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
9792, 36, 56, 60, 96syl31anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( ( w  gcd  N )  ||  w  /\  ( w  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) )  -> 
( w  gcd  N
)  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N
) ) ) )
9882, 95, 97mp2and 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  ( w  gcd  ( M  x.  N )
) )
9998, 65breqtrd 3958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  <_  1 )
100 nnle1eq1 8764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  gcd  N )  e.  NN  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
10191, 100syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  gcd  N
)  <_  1  <->  ( w  gcd  N )  =  1 ) )
10299, 101mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  gcd  N )  =  1 )
10379, 102eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
( w  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
104 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( y  gcd  N )  =  ( ( w  mod  N
)  gcd  N )
)
105104eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( w  mod  N )  ->  ( (
y  gcd  N )  =  1  <->  ( (
w  mod  N )  gcd  N )  =  1 ) )
106 phimul.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }
107105, 106elrab2 2844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  mod  N )  e.  V  <->  ( (
w  mod  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( w  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
10877, 103, 107sylanbrc 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  (
w  mod  N )  e.  V )
109 opelxpi 4575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  mod  M
)  e.  U  /\  ( w  mod  N )  e.  V )  ->  <. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
11075, 108, 109syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V ) )
11133, 110eqeltrd 2217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  W )  ->  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V
) )
112111ralrimiva 2506 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) )
113 crth.2 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
1148, 113, 31, 13crth 11927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
115 f1ofn 5372 . . . . . . . . 9  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F  Fn  S )
116 fnfun 5224 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  S  ->  Fun  F )
117114, 115, 1163syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Fun  F )
118 ssrab2 3183 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  C_  S
1193, 118eqsstri 3130 . . . . . . . . 9  |-  W  C_  S
120 fndm 5226 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  S  ->  dom  F  =  S )
121114, 115, 1203syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  S )
122119, 121sseqtrrid 3149 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  dom  F )
123 funimass4 5476 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
124117, 122, 123syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F " W )  C_  ( U  X.  V )  <->  A. w  e.  W  ( F `  w )  e.  ( U  X.  V ) ) )
125112, 124mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  C_  ( U  X.  V ) )
126 ssrab2 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 }  C_  (
0..^ M )
12773, 126eqsstri 3130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  C_  ( 0..^ M )
128 ssrab2 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
129106, 128eqsstri 3130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  C_  ( 0..^ N )
130 xpss12 4650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  C_  ( 0..^ M )  /\  V  C_  ( 0..^ N ) )  ->  ( U  X.  V )  C_  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
131127, 129, 130mp2an 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  X.  V )  C_  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
132131, 113sseqtrri 3133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  X.  V )  C_  T
133132sseli 3094 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  T )
134 f1ocnvfv2 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : S -1-1-onto-> T  /\  z  e.  T )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
135114, 133, 134syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
136 f1ocnv 5384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  `' F : T -1-1-onto-> S )
137 f1of 5371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F : T -1-1-onto-> S  ->  `' F : T --> S )
138114, 136, 1373syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : T --> S )
139 ffvelrn 5557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F : T --> S  /\  z  e.  T )  ->  ( `' F `  z )  e.  S
)
140138, 133, 139syl2an 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  S )
141140, 8eleqtrdi 2233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )
142 elfzoelz 9951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
143141, 142syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ZZ )
14414adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  NN )
145 modgcd 11706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M
) )
146143, 144, 145syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  M ) )
147 zq 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  ->  ( `' F `  z )  e.  QQ )
148143, 147syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  QQ )
149144, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  QQ )
150144nngt0d 8784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  0  <  M )
151148, 149, 150modqcld 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  QQ )
15220adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  NN )
153152, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  QQ )
154152nngt0d 8784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  0  <  N )
155148, 153, 154modqcld 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  QQ )
156 opexg 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  QQ  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  QQ )  ->  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >.  e.  _V )
157151, 155, 156syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  _V )
158 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  M )  =  ( ( `' F `  z )  mod  M ) )
159 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  (
w  mod  N )  =  ( ( `' F `  z )  mod  N ) )
160158, 159opeq12d 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( `' F `  z )  ->  <. (
w  mod  M ) ,  ( w  mod  N ) >.  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
16130cbvmptv 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  S  |->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >. )  =  ( w  e.  S  |->  <.
( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
16231, 161eqtri 2161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F  =  ( w  e.  S  |-> 
<. ( w  mod  M
) ,  ( w  mod  N ) >.
)
163160, 162fvmptg 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  S  /\  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >.  e.  _V )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
164140, 157, 163syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.
)
165135, 164eqtr3d 2175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  =  <. ( ( `' F `  z )  mod  M ) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N
) >. )
166 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( U  X.  V
) )
167165, 166eqeltrrd 2218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  <. (
( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
) )
168 opelxp 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( ( `' F `  z )  mod  M
) ,  ( ( `' F `  z )  mod  N ) >.  e.  ( U  X.  V
)  <->  ( ( ( `' F `  z )  mod  M )  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N )  e.  V ) )
169167, 168sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  /\  ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V ) )
170169simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U )
171 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( y  gcd  M
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )
)
172171eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  M )  -> 
( ( y  gcd 
M )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  M )  gcd 
M )  =  1 ) )
173172, 73elrab2 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  U  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
174170, 173sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 ) )
175174simprd 113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  M
)  gcd  M )  =  1 )
176146, 175eqtr3d 2175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  M
)  =  1 )
177 modgcd 11706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N
) )
178143, 152, 177syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  N ) )
179169simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V )
180 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( y  gcd  N
)  =  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )
)
181180eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( `' F `  z )  mod  N )  -> 
( ( y  gcd 
N )  =  1  <-> 
( ( ( `' F `  z )  mod  N )  gcd 
N )  =  1 ) )
182181, 106elrab2 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  V  <->  ( (
( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
183179, 182sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 ) )
184183simprd 113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( `' F `  z )  mod  N
)  gcd  N )  =  1 )
185178, 184eqtr3d 2175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  N
)  =  1 )
18614nnzd 9192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
187186adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  M  e.  ZZ )
18820nnzd 9192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
189188adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  N  e.  ZZ )
190 rpmul 11806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
191143, 187, 189, 190syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( ( ( `' F `  z )  gcd  M )  =  1  /\  ( ( `' F `  z )  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
192176, 185, 191mp2and 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 )
193 oveq1 5785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  ( ( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
) )
194193eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1  <->  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
195194, 3elrab2 2844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  W  <->  ( ( `' F `  z )  e.  S  /\  (
( `' F `  z )  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 ) )
196140, 192, 195sylanbrc 414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  W )
197 funfvima2 5654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  W  C_ 
dom  F )  -> 
( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
198117, 122, 197syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( `' F `  z )  e.  W  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F
" W ) ) )
199198imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( `' F `  z )  e.  W )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
200196, 199syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F
" W ) )
201135, 200eqeltrrd 2218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U  X.  V
) )  ->  z  e.  ( F " W
) )
202201ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( U  X.  V )  ->  z  e.  ( F " W ) ) )
203202ssrdv 3104 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  C_  ( F " W ) )
204125, 203eqssd 3115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  =  ( U  X.  V ) )
205 f1of1 5370 . . . . . . 7  |-  ( F : S -1-1-onto-> T  ->  F : S -1-1-> T )
206114, 205syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
207119a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  C_  S )
208 0z 9085 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
209186, 188zmulcld 9199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
210 fzofig 10232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin )
211208, 209, 210sylancr 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin )
2128, 211eqeltrid 2227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
213 elfzoelz 9951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  e.  ZZ )
214213, 8eleq2s 2235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ZZ )
215214adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ZZ )
216209adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
217215, 216gcdcld 11684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  e. 
NN0 )
218217nn0zd 9191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  e.  ZZ )
219 1zzd 9101 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  ZZ )
220 zdceq 9146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
221218, 219, 220syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  -> DECID  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 )
222221ralrimiva 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S DECID  (
y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 )
223212, 222ssfirab 6826 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 }  e.  Fin )
2243, 223eqeltrid 2227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
225 f1imaeng 6690 . . . . . 6  |-  ( ( F : S -1-1-> T  /\  W  C_  S  /\  W  e.  Fin )  ->  ( F " W
)  ~~  W )
226206, 207, 224, 225syl3anc 1217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F " W
)  ~~  W )
227204, 226eqbrtrrd 3956 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  ~~  W )
228 fzofig 10232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ M )  e.  Fin )
229208, 186, 228sylancr 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ M )  e.  Fin )
230 elfzoelz 9951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0..^ M )  ->  y  e.  ZZ )
231230adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  y  e.  ZZ )
232186adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  ZZ )
233231, 232gcdcld 11684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( y  gcd 
M )  e.  NN0 )
234233nn0zd 9191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( y  gcd 
M )  e.  ZZ )
235 1z 9100 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
236 zdceq 9146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  gcd  M
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( y  gcd  M )  =  1 )
237234, 235, 236sylancl 410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  -> DECID 
( y  gcd  M
)  =  1 )
238237ralrimiva 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0..^ M )DECID  ( y  gcd  M )  =  1 )
239229, 238ssfirab 6826 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M
)  =  1 }  e.  Fin )
24073, 239eqeltrid 2227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
241 fzofig 10232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
242208, 188, 241sylancr 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  e.  Fin )
243 elfzoelz 9951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  y  e.  ZZ )
244243adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  y  e.  ZZ )
245188adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
246244, 245gcdcld 11684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( y  gcd 
N )  e.  NN0 )
247246nn0zd 9191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( y  gcd 
N )  e.  ZZ )
248 1zzd 9101 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  ->  1  e.  ZZ )
249 zdceq 9146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( y  gcd  N )  =  1 )
250247, 248, 249syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0..^ N ) )  -> DECID 
( y  gcd  N
)  =  1 )
251250ralrimiva 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0..^ N )DECID  ( y  gcd  N )  =  1 )
252242, 251ssfirab 6826 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N
)  =  1 }  e.  Fin )
253106, 252eqeltrid 2227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
254 xpfi 6822 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( U  X.  V
)  e.  Fin )
255240, 253, 254syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  X.  V
)  e.  Fin )
256 hashen 10558 . . . . 5  |-  ( ( ( U  X.  V
)  e.  Fin  /\  W  e.  Fin )  ->  ( ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
) )
257255, 224, 256syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( `  W
)  <->  ( U  X.  V )  ~~  W
) )
258227, 257mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( `  W )
)
259 hashxp 10600 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  V  e.  Fin )  ->  ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
260240, 253, 259syl2anc 409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `  ( U  X.  V ) )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
261258, 260eqtr3d 2175 . 2  |-  ( ph  ->  ( `  W )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
26214, 20nnmulcld 8789 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
263 dfphi2 11923 . . . 4  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( `  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N
) )  =  1 } ) )
2648rabeqi 2680 . . . . . 6  |-  { y  e.  S  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 }  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
2653, 264eqtri 2161 . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N )
)  =  1 }
266265fveq2i 5428 . . . 4  |-  ( `  W
)  =  ( `  {
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  |  ( y  gcd  ( M  x.  N ) )  =  1 } )
267263, 266eqtr4di 2191 . . 3  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN  ->  ( phi `  ( M  x.  N ) )  =  ( `  W )
)
268262, 267syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( `  W
) )
269 dfphi2 11923 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( `  { y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd 
M )  =  1 } ) )
27073fveq2i 5428 . . . . 5  |-  ( `  U
)  =  ( `  {
y  e.  ( 0..^ M )  |  ( y  gcd  M )  =  1 } )
271269, 270eqtr4di 2191 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( phi `  M )  =  ( `  U )
)
27214, 271syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  M
)  =  ( `  U
) )
273 dfphi2 11923 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  { y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd 
N )  =  1 } ) )
274106fveq2i 5428 . . . . 5  |-  ( `  V
)  =  ( `  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 } )
275273, 274eqtr4di 2191 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( `  V )
)
27620, 275syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  =  ( `  V
) )
277272, 276oveq12d 5796 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) )  =  ( ( `  U
)  x.  ( `  V
) ) )
278261, 268, 2773eqtr4d 2183 1  |-  ( ph  ->  ( phi `  ( M  x.  N )
)  =  ( ( phi `  M )  x.  ( phi `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 820    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481    =/= wne 2309   A.wral 2417   {crab 2421   _Vcvv 2687    C_ wss 3072   <.cop 3531   class class class wbr 3933    |-> cmpt 3993    X. cxp 4541   `'ccnv 4542   dom cdm 4543   "cima 4546   Fun wfun 5121    Fn wfn 5122   -->wf 5123   -1-1->wf1 5124   -1-1-onto->wf1o 5126   ` cfv 5127  (class class class)co 5778    ~~ cen 6636   Fincfn 6638   0cc0 7640   1c1 7641    x. cmul 7645    <_ cle 7821   NNcn 8740   ZZcz 9074   QQcq 9434  ..^cfzo 9946    mod cmo 10122  ♯chash 10549    || cdvds 11520    gcd cgcd 11662   phicphi 11913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758  ax-arch 7759  ax-caucvg 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-frec 6292  df-1o 6317  df-oadd 6321  df-er 6433  df-en 6639  df-dom 6640  df-fin 6641  df-sup 6875  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-2 8799  df-3 8800  df-4 8801  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-q 9435  df-rp 9467  df-fz 9818  df-fzo 9947  df-fl 10070  df-mod 10123  df-seqfrec 10246  df-exp 10320  df-ihash 10550  df-cj 10642  df-re 10643  df-im 10644  df-rsqrt 10798  df-abs 10799  df-dvds 11521  df-gcd 11663  df-phi 11914
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