Theorem fvtp1 5769

Description: The first value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp1.1	|- A e. _V
fvtp1.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvtp1	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Proof of Theorem fvtp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvtp1.1	. 2 |- A e. _V
2		fvtp1.4	. 2 |- D e. _V
3		fvtp1g 5766	. 2 |- ( ( ( A e. _V /\ D e. _V ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )
4	1, 2, 3	mpanl12 436	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   _Vcvv 2760   {ctp 3620   <.cop 3621   ` cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  fvtp2  5770