Theorem fvtp3g 5849

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp3g	|- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Proof of Theorem fvtp3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3759	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5628	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C )
3		necom 2484	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvtp2g 5848	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( B =/= C /\ C =/= A ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
5	4	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( B =/= C /\ C =/= A ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
6	3, 5	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ A =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
7	6	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
8	7	impcom 125	. 2 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
9	2, 8	eqtrid 2274	1 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   {ctp 3668   <.cop 3669   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  imasmulr  13342