Theorem fvtp3g 5768

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp3g	|- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Proof of Theorem fvtp3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3711	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5555	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C )
3		necom 2448	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvtp2g 5767	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( B =/= C /\ C =/= A ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
5	4	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( B =/= C /\ C =/= A ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
6	3, 5	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ A =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
7	6	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
8	7	impcom 125	. 2 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
9	2, 8	eqtrid 2238	1 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   {ctp 3620   <.cop 3621   ` cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  imasmulr  12892