Theorem fvtp3g 5894

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp3g	|- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Proof of Theorem fvtp3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3784	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5671	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C )
3		necom 2496	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvtp2g 5893	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( B =/= C /\ C =/= A ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
5	4	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( B =/= C /\ C =/= A ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
6	3, 5	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ A =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
7	6	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
8	7	impcom 125	. 2 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
9	2, 8	eqtrid 2277	1 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   {ctp 3691   <.cop 3692   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  imasmulr  13522