Theorem fvtp3g 5718

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp3g	|- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Proof of Theorem fvtp3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3682	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5508	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C )
3		necom 2429	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvtp2g 5717	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( B =/= C /\ C =/= A ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
5	4	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( B =/= C /\ C =/= A ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
6	3, 5	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ A =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
7	6	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
8	7	impcom 125	. 2 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
9	2, 8	eqtrid 2220	1 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   =/= wne 2345   {ctp 3591   <.cop 3592   ` cfv 5208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-tp 3597  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216

This theorem is referenced by: (None)