Theorem fvtp3g 5728

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp3g	|- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Proof of Theorem fvtp3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3687	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5518	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C )
3		necom 2431	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvtp2g 5727	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( B =/= C /\ C =/= A ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
5	4	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( B =/= C /\ C =/= A ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
6	3, 5	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ A =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
7	6	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( C e. V /\ F e. W ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F ) )
8	7	impcom 125	. 2 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` C ) = F )
9	2, 8	eqtrid 2222	1 |- ( ( ( C e. V /\ F e. W ) /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` C ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   {ctp 3596   <.cop 3597   ` cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  imasmulr  12735