ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvtp1g Unicode version

Theorem fvtp1g 5519
Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvtp1g  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )

Proof of Theorem fvtp1g
StepHypRef Expression
1 df-tp 3458 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } )
21fveq1i 5319 . 2  |-  ( {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )
3 necom 2340 . . . . 5  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
4 fvunsng 5505 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  =/=  A )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
53, 4sylan2b 282 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  =/=  C )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
65ad2ant2rl 496 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
7 fvpr1g 5517 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A
)  =  D )
873expa 1144 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( { <. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. } `
 A )  =  D )
98adantrr 464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A
)  =  D )
106, 9eqtrd 2121 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  D )
112, 10syl5eq 2133 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439    =/= wne 2256    u. cun 2998   {csn 3450   {cpr 3451   {ctp 3452   <.cop 3453   ` cfv 5028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-tp 3458  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-res 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036
This theorem is referenced by:  fvtp2g  5520  fvtp1  5522
  Copyright terms: Public domain W3C validator