ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvtp1g Unicode version

Theorem fvtp1g 5621
Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvtp1g  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )

Proof of Theorem fvtp1g
StepHypRef Expression
1 df-tp 3530 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } )
21fveq1i 5415 . 2  |-  ( {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )
3 necom 2390 . . . . 5  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
4 fvunsng 5607 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  =/=  A )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
53, 4sylan2b 285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  =/=  C )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
65ad2ant2rl 502 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
7 fvpr1g 5619 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A
)  =  D )
873expa 1181 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( { <. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. } `
 A )  =  D )
98adantrr 470 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A
)  =  D )
106, 9eqtrd 2170 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  D )
112, 10syl5eq 2182 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C ) )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2306    u. cun 3064   {csn 3522   {cpr 3523   {ctp 3524   <.cop 3525   ` cfv 5118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-tp 3530  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-res 4546  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126
This theorem is referenced by:  fvtp2g  5622  fvtp1  5624
  Copyright terms: Public domain W3C validator