Theorem fvtp1g 5897

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp1g	|- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Proof of Theorem fvtp1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3702	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
2	1	fveq1i 5676	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A )
3		necom 2498	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvunsng 5883	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ C =/= A ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= C ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
6	5	ad2ant2rl 511	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
7		fvpr1g 5895	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
8	7	3expa 1230	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
9	8	adantrr 479	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
10	6, 9	eqtrd 2267	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = D )
11	2, 10	eqtrid 2279	1 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   u. cun 3212   {csn 3694   {cpr 3695   {ctp 3696   <.cop 3697   ` cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fvtp2g  5898  fvtp1  5900  imasbas  13571