Theorem fvtp1g 5870

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp1g	|- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Proof of Theorem fvtp1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3681	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
2	1	fveq1i 5649	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A )
3		necom 2487	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvunsng 5856	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ C =/= A ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= C ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
6	5	ad2ant2rl 511	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
7		fvpr1g 5868	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
8	7	3expa 1230	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
9	8	adantrr 479	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
10	6, 9	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = D )
11	2, 10	eqtrid 2276	1 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   u. cun 3199   {csn 3673   {cpr 3674   {ctp 3675   <.cop 3676   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fvtp2g  5871  fvtp1  5873  imasbas  13453