Theorem fvtp1g 5857

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp1g	|- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Proof of Theorem fvtp1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3675	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
2	1	fveq1i 5636	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A )
3		necom 2484	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvunsng 5843	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ C =/= A ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= C ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
6	5	ad2ant2rl 511	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
7		fvpr1g 5855	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
8	7	3expa 1227	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
9	8	adantrr 479	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
10	6, 9	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = D )
11	2, 10	eqtrid 2274	1 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   u. cun 3196   {csn 3667   {cpr 3668   {ctp 3669   <.cop 3670   ` cfv 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  fvtp2g  5858  fvtp1  5860  imasbas  13380