Theorem fvtp1g 5725

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp1g	|- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Proof of Theorem fvtp1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3601	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
2	1	fveq1i 5517	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A )
3		necom 2431	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvunsng 5711	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ C =/= A ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= C ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
6	5	ad2ant2rl 511	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
7		fvpr1g 5723	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
8	7	3expa 1203	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
9	8	adantrr 479	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
10	6, 9	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = D )
11	2, 10	eqtrid 2222	1 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   u. cun 3128   {csn 3593   {cpr 3594   {ctp 3595   <.cop 3596   ` cfv 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-tp 3601  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225

This theorem is referenced by:  fvtp2g  5726  fvtp1  5728  imasbas  12728