Theorem fvtp2 5921

Description: The second value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp2.1	|- B e. _V
fvtp2.4	|- E e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvtp2	|- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Proof of Theorem fvtp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3803	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5694	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B )
3		necom 2504	. . 3 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvtp2.1	. . . . 5 |- B e. _V
5		fvtp2.4	. . . . 5 |- E e. _V
6	4, 5	fvtp1 5920	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ B =/= A ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
7	6	ancoms 268	. . 3 |- ( ( B =/= A /\ B =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
8	3, 7	sylanb 284	. 2 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
9	2, 8	eqtrid 2283	1 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   {ctp 3710   <.cop 3711   ` cfv 5375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383

This theorem is referenced by:  fvtp3  5922