Theorem fvtp2 5895

Description: The second value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp2.1	|- B e. _V
fvtp2.4	|- E e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvtp2	|- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Proof of Theorem fvtp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3783	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5670	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B )
3		necom 2496	. . 3 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvtp2.1	. . . . 5 |- B e. _V
5		fvtp2.4	. . . . 5 |- E e. _V
6	4, 5	fvtp1 5894	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ B =/= A ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
7	6	ancoms 268	. . 3 |- ( ( B =/= A /\ B =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
8	3, 7	sylanb 284	. 2 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
9	2, 8	eqtrid 2277	1 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   _Vcvv 2812   {ctp 3690   <.cop 3691   ` cfv 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359

This theorem is referenced by:  fvtp3  5896