Theorem fvtp2 5509

Description: The second value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp2.1	|- B e. _V
fvtp2.4	|- E e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvtp2	|- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Proof of Theorem fvtp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 3535	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. }
2	1	fveq1i 5306	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B )
3		necom 2339	. . 3 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
4		fvtp2.1	. . . . 5 |- B e. _V
5		fvtp2.4	. . . . 5 |- E e. _V
6	4, 5	fvtp1 5508	. . . 4 |- ( ( B =/= C /\ B =/= A ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
7	6	ancoms 264	. . 3 |- ( ( B =/= A /\ B =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
8	3, 7	sylanb 278	. 2 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( { <. B , E >. , <. C , F >. , <. A , D >. } ` B ) = E )
9	2, 8	syl5eq 2132	1 |- ( ( A =/= B /\ B =/= C ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` B ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   _Vcvv 2619   {ctp 3448   <.cop 3449   ` cfv 5015

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-tp 3454  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-res 4450  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023

This theorem is referenced by:  fvtp3  5510