Theorem grpinvalem 13413

Description: Lemma for grpinva 13414. (Contributed by NM, 9-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinva.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
grpinva.o	|- ( ph -> O e. B )
grpinva.i	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
grpinva.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
grpinva.r	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
grpinvalem.x	|- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
grpinvalem.e	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )

Assertion

Ref	Expression
grpinvalem	|- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, O, y, z   ph, x, y, z   x, .+ , y, z   y, X, z   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x, z)   X( x)

Proof of Theorem grpinvalem

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinva.r	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
2	1	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O )
3		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( y .+ x ) = ( y .+ z ) )
4	3	eqeq1d 2238	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( y .+ x ) = O <-> ( y .+ z ) = O ) )
5	4	rexbidv 2531	. . . . 5 |- ( x = z -> ( E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> E. y e. B ( y .+ z ) = O ) )
6	5	cbvralvw 2769	. . . 4 |- ( A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
7	2, 6	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
8		grpinvalem.x	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
9		oveq2 6008	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( y .+ z ) = ( y .+ X ) )
10	9	eqeq1d 2238	. . . . 5 |- ( z = X -> ( ( y .+ z ) = O <-> ( y .+ X ) = O ) )
11	10	rexbidv 2531	. . . 4 |- ( z = X -> ( E. y e. B ( y .+ z ) = O <-> E. y e. B ( y .+ X ) = O ) )
12	11	rspccva 2906	. . 3 |- ( ( A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O /\ X e. B ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
13	7, 8, 12	syl2an2r 597	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
14		grpinvalem.e	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )
15	14	oveq2d 6016	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
16	15	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
17		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ X ) = O )
18	17	oveq1d 6015	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( O .+ X ) )
19		grpinva.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
20	19	caovassg 6163	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
21	20	ad4ant14 514	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
22		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> y e. B )
23	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X e. B )
24	21, 22, 23, 23	caovassd 6164	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( y .+ ( X .+ X ) ) )
25		oveq2 6008	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( O .+ y ) = ( O .+ X ) )
26		id 19	. . . . . . 7 |- ( y = X -> y = X )
27	25, 26	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( ( O .+ y ) = y <-> ( O .+ X ) = X ) )
28		grpinva.i	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
29	28	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. B ( O .+ x ) = x )
30		oveq2 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( O .+ x ) = ( O .+ y ) )
31		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> x = y )
32	30, 31	eqeq12d 2244	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( O .+ x ) = x <-> ( O .+ y ) = y ) )
33	32	cbvralvw 2769	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( O .+ x ) = x <-> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
34	29, 33	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
35	34	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
36	27, 35, 8	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( O .+ X ) = X )
37	36	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( O .+ X ) = X )
38	18, 24, 37	3eqtr3d 2270	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = X )
39	16, 38, 17	3eqtr3d 2270	. 2 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X = O )
40	13, 39	rexlimddv 2653	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509  (class class class)co 6000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003

This theorem is referenced by:  grpinva  13414