Theorem rspccva 2842

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspccva	|- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	rspcv 2839	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
3	2	impcom 125	1 |- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741

This theorem is referenced by:  disjne  3478  seex  4337  fconstfvm  5737  fvixp  6706  ordiso2  7037  eqord1  8443  eqord2  8444  seq3caopr2  10485  bccl  10750  2clim  11312  isummulc2  11437  telfsumo2  11478  fsumparts  11481  isumshft  11501  mertenslem2  11547  mertensabs  11548  dvdsprime  12125  mgmlrid  12804  grprinvlem  12810  grpinvex  12893  issubg2m  13055  issubg4m  13059  nmzbi  13075  cnima  13860  dceqnconst  14948  dcapnconst  14949