Theorem rspccva 2928

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspccva	|- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	rspcv 2925	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
3	2	impcom 125	1 |- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  disjne  3578  seex  4482  fconstfvm  5936  caofid0l  6333  caofid0r  6334  caofid1  6335  caofid2  6336  fvixp  6991  ordiso2  7381  eqord1  8818  eqord2  8819  seq3caopr2  10950  seqcaopr2g  10951  bccl  11226  hashfibc  11304  2clim  12091  isummulc2  12217  telfsumo2  12258  fsumparts  12261  isumshft  12281  mertenslem2  12327  mertensabs  12328  dvdsprime  12924  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  mgmlrid  13757  grpinvalem  13763  grpinvex  13873  issubg2m  14050  issubg4m  14054  nmzbi  14070  cntzi  14161  cnima  15463  dich0  15895  2lgslem1a  16429  depindlem1  16969  depindlem2  16970  depindlem3  16971  dceqnconst  17334  dcapnconst  17335