Theorem rspccva 2928

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspccva	|- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	rspcv 2925	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
3	2	impcom 125	1 |- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  disjne  3578  seex  4480  fconstfvm  5933  caofid0l  6329  caofid0r  6330  caofid1  6331  caofid2  6332  fvixp  6985  ordiso2  7375  eqord1  8812  eqord2  8813  seq3caopr2  10943  seqcaopr2g  10944  bccl  11219  hashfibc  11297  2clim  12083  isummulc2  12209  telfsumo2  12250  fsumparts  12253  isumshft  12273  mertenslem2  12319  mertensabs  12320  dvdsprime  12916  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  mgmlrid  13748  grpinvalem  13754  grpinvex  13864  issubg2m  14041  issubg4m  14045  nmzbi  14061  cnima  15370  dich0  15802  2lgslem1a  16305  depindlem1  16845  depindlem2  16846  depindlem3  16847  dceqnconst  17208  dcapnconst  17209