Theorem rspccva 2922

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspccva	|- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	rspcv 2919	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
3	2	impcom 125	1 |- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-v 2817

This theorem is referenced by:  disjne  3566  seex  4461  fconstfvm  5907  caofid0l  6302  caofid0r  6303  caofid1  6304  caofid2  6305  fvixp  6951  ordiso2  7339  eqord1  8774  eqord2  8775  seq3caopr2  10879  seqcaopr2g  10880  bccl  11154  hashfibc  11232  2clim  12011  isummulc2  12137  telfsumo2  12178  fsumparts  12181  isumshft  12201  mertenslem2  12247  mertensabs  12248  dvdsprime  12844  ballotfilemfc0  13176  ballotfilemfcc  13177  mgmlrid  13642  grpinvalem  13648  grpinvex  13765  issubg2m  13942  issubg4m  13946  nmzbi  13962  cnima  15211  dich0  15643  2lgslem1a  16087  depindlem1  16627  depindlem2  16628  depindlem3  16629  dceqnconst  16972  dcapnconst  16973