Theorem rspccva 2910

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspccva	|- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	rspcv 2907	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
3	2	impcom 125	1 |- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805

This theorem is referenced by:  disjne  3550  seex  4438  fconstfvm  5880  caofid0l  6271  caofid0r  6272  caofid1  6273  caofid2  6274  fvixp  6915  ordiso2  7294  eqord1  8722  eqord2  8723  seq3caopr2  10818  seqcaopr2g  10819  bccl  11092  2clim  11941  isummulc2  12067  telfsumo2  12108  fsumparts  12111  isumshft  12131  mertenslem2  12177  mertensabs  12178  dvdsprime  12774  mgmlrid  13542  grpinvalem  13548  grpinvex  13673  issubg2m  13856  issubg4m  13860  nmzbi  13876  cnima  15031  dich0  15463  2lgslem1a  15907  depindlem1  16447  depindlem2  16448  depindlem3  16449  dceqnconst  16793  dcapnconst  16794