Theorem rspccva 2922

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspccva	|- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	rspcv 2919	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
3	2	impcom 125	1 |- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-v 2817

This theorem is referenced by:  disjne  3567  seex  4462  fconstfvm  5908  caofid0l  6303  caofid0r  6304  caofid1  6305  caofid2  6306  fvixp  6952  ordiso2  7340  eqord1  8776  eqord2  8777  seq3caopr2  10883  seqcaopr2g  10884  bccl  11158  hashfibc  11236  2clim  12016  isummulc2  12142  telfsumo2  12183  fsumparts  12186  isumshft  12206  mertenslem2  12252  mertensabs  12253  dvdsprime  12849  ballotfilemfc0  13181  ballotfilemfcc  13182  mgmlrid  13647  grpinvalem  13653  grpinvex  13770  issubg2m  13947  issubg4m  13951  nmzbi  13967  cnima  15216  dich0  15648  2lgslem1a  16092  depindlem1  16632  depindlem2  16633  depindlem3  16634  dceqnconst  16986  dcapnconst  16987