Theorem rspccva 2909

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspccva	|- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspccva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2	1	rspcv 2906	. 2 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )
3	2	impcom 125	1 |- ( ( A. x e. B ph /\ A e. B ) -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804

This theorem is referenced by:  disjne  3548  seex  4432  fconstfvm  5872  caofid0l  6262  caofid0r  6263  caofid1  6264  caofid2  6265  fvixp  6872  ordiso2  7234  eqord1  8663  eqord2  8664  seq3caopr2  10756  seqcaopr2g  10757  bccl  11030  2clim  11879  isummulc2  12005  telfsumo2  12046  fsumparts  12049  isumshft  12069  mertenslem2  12115  mertensabs  12116  dvdsprime  12712  mgmlrid  13480  grpinvalem  13486  grpinvex  13611  issubg2m  13794  issubg4m  13798  nmzbi  13814  cnima  14963  dich0  15395  2lgslem1a  15836  depindlem1  16376  depindlem2  16377  depindlem3  16378  dceqnconst  16716  dcapnconst  16717