Theorem mgmidsssn0 13547

Description: Property of the set of identities of G. Either G has no identities, and O = (/), or it has one and this identity is unique and identified by the 0g function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmidsssn0.b	|- B = ( Base ` G )
mgmidsssn0.z	|- .0. = ( 0g ` G )
mgmidsssn0.p	|- .+ = ( +g ` G )
mgmidsssn0.o	|- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
mgmidsssn0	|- ( G e. V -> O C_ { .0. } )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y   x, .+ , y   x, V   x, .0. , y

Allowed substitution hints:   O( x, y)   V( y)

Proof of Theorem mgmidsssn0

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmidsssn0.o	. 2 |- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }
2		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) )
3		mgmidsssn0.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
4		mgmidsssn0.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` G )
5		mgmidsssn0.p	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
6		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( z .+ y ) = ( x .+ y ) )
7	6	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( z .+ y ) = y <-> ( x .+ y ) = y ) )
8	7	ovanraleqv 6052	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) )
9	8	rspcev 2911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) -> E. z e. B A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> E. z e. B A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) )
11	3, 4, 5, 10	ismgmid 13540	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) <-> .0. = x ) )
12	2, 11	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> .0. = x )
13	12	eqcomd 2237	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> x = .0. )
14		velsn 3690	. . . . . 6 |- ( x e. { .0. } <-> x = .0. )
15	13, 14	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> x e. { .0. } )
16	15	expr 375	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
17	16	ralrimiva 2606	. . 3 |- ( G e. V -> A. x e. B ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
18		rabss 3305	. . 3 |- ( { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { .0. } <-> A. x e. B ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( G e. V -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { .0. } )
20	1, 19	eqsstrid 3274	1 |- ( G e. V -> O C_ { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   C_ wss 3201   {csn 3673   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9203  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-0g 13421

This theorem is referenced by:  gsumress  13558  gsumvallem2  13656