Theorem mgmidsssn0 12667

Description: Property of the set of identities of G. Either G has no identities, and O = (/), or it has one and this identity is unique and identified by the 0g function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmidsssn0.b	|- B = ( Base ` G )
mgmidsssn0.z	|- .0. = ( 0g ` G )
mgmidsssn0.p	|- .+ = ( +g ` G )
mgmidsssn0.o	|- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
mgmidsssn0	|- ( G e. V -> O C_ { .0. } )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y   x, .+ , y   x, V   x, .0. , y

Allowed substitution hints:   O( x, y)   V( y)

Proof of Theorem mgmidsssn0

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmidsssn0.o	. 2 |- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }
2		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) )
3		mgmidsssn0.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
4		mgmidsssn0.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` G )
5		mgmidsssn0.p	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
6		oveq1 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( z .+ y ) = ( x .+ y ) )
7	6	eqeq1d 2184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( z .+ y ) = y <-> ( x .+ y ) = y ) )
8	7	ovanraleqv 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) )
9	8	rspcev 2839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) -> E. z e. B A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> E. z e. B A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) )
11	3, 4, 5, 10	ismgmid 12660	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) <-> .0. = x ) )
12	2, 11	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> .0. = x )
13	12	eqcomd 2181	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> x = .0. )
14		velsn 3606	. . . . . 6 |- ( x e. { .0. } <-> x = .0. )
15	13, 14	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> x e. { .0. } )
16	15	expr 375	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
17	16	ralrimiva 2548	. . 3 |- ( G e. V -> A. x e. B ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
18		rabss 3230	. . 3 |- ( { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { .0. } <-> A. x e. B ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( G e. V -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { .0. } )
20	1, 19	eqsstrid 3199	1 |- ( G e. V -> O C_ { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   {crab 2457   C_ wss 3127   {csn 3589   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12427   +g cplusg 12491   0gc0g 12625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-inn 8891  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-0g 12627

This theorem is referenced by: (None)