Theorem mgmidsssn0 13301

Description: Property of the set of identities of G. Either G has no identities, and O = (/), or it has one and this identity is unique and identified by the 0g function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmidsssn0.b	|- B = ( Base ` G )
mgmidsssn0.z	|- .0. = ( 0g ` G )
mgmidsssn0.p	|- .+ = ( +g ` G )
mgmidsssn0.o	|- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
mgmidsssn0	|- ( G e. V -> O C_ { .0. } )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y   x, .+ , y   x, V   x, .0. , y

Allowed substitution hints:   O( x, y)   V( y)

Proof of Theorem mgmidsssn0

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmidsssn0.o	. 2 |- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }
2		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) )
3		mgmidsssn0.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
4		mgmidsssn0.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` G )
5		mgmidsssn0.p	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
6		oveq1 5969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( z .+ y ) = ( x .+ y ) )
7	6	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( z .+ y ) = y <-> ( x .+ y ) = y ) )
8	7	ovanraleqv 5986	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) )
9	8	rspcev 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) -> E. z e. B A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> E. z e. B A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) )
11	3, 4, 5, 10	ismgmid 13294	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) <-> .0. = x ) )
12	2, 11	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> .0. = x )
13	12	eqcomd 2212	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> x = .0. )
14		velsn 3655	. . . . . 6 |- ( x e. { .0. } <-> x = .0. )
15	13, 14	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> x e. { .0. } )
16	15	expr 375	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
17	16	ralrimiva 2580	. . 3 |- ( G e. V -> A. x e. B ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
18		rabss 3274	. . 3 |- ( { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { .0. } <-> A. x e. B ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( G e. V -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { .0. } )
20	1, 19	eqsstrid 3243	1 |- ( G e. V -> O C_ { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   {crab 2489   C_ wss 3170   {csn 3638   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   Basecbs 12917   +g cplusg 12994   0gc0g 13173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-inn 9067  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-0g 13175

This theorem is referenced by:  gsumress  13312  gsumvallem2  13410