Theorem mgmidsssn0 13681

Description: Property of the set of identities of G. Either G has no identities, and O = (/), or it has one and this identity is unique and identified by the 0g function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmidsssn0.b	|- B = ( Base ` G )
mgmidsssn0.z	|- .0. = ( 0g ` G )
mgmidsssn0.p	|- .+ = ( +g ` G )
mgmidsssn0.o	|- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
mgmidsssn0	|- ( G e. V -> O C_ { .0. } )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y   x, .+ , y   x, V   x, .0. , y

Allowed substitution hints:   O( x, y)   V( y)

Proof of Theorem mgmidsssn0

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmidsssn0.o	. 2 |- O = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }
2		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) )
3		mgmidsssn0.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
4		mgmidsssn0.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` G )
5		mgmidsssn0.p	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
6		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( z .+ y ) = ( x .+ y ) )
7	6	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( z .+ y ) = y <-> ( x .+ y ) = y ) )
8	7	ovanraleqv 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) )
9	8	rspcev 2929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) -> E. z e. B A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> E. z e. B A. y e. B ( ( z .+ y ) = y /\ ( y .+ z ) = y ) )
11	3, 4, 5, 10	ismgmid 13674	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> ( ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) <-> .0. = x ) )
12	2, 11	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> .0. = x )
13	12	eqcomd 2244	. . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> x = .0. )
14		velsn 3722	. . . . . 6 |- ( x e. { .0. } <-> x = .0. )
15	13, 14	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) ) ) -> x e. { .0. } )
16	15	expr 375	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
17	16	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( G e. V -> A. x e. B ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
18		rabss 3325	. . 3 |- ( { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { .0. } <-> A. x e. B ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> x e. { .0. } ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( G e. V -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { .0. } )
20	1, 19	eqsstrid 3294	1 |- ( G e. V -> O C_ { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   {csn 3705   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-0g 13589

This theorem is referenced by:  gzsumress  13689  gsumvallem2  13777