Theorem grpmnd 13608

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13607	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   0gc0g 13357   Mndcmnd 13517   Grpcgrp 13601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-grp 13604

This theorem is referenced by:  grpcl  13609  grpass  13610  grpideu  13612  grpmndd  13614  grpplusf  13616  grpplusfo  13617  grpsgrp  13626  dfgrp2  13628  grpidcl  13630  grplid  13632  grprid  13633  dfgrp3m  13700  prdsgrpd  13710  prdsinvgd  13711  mulgaddcom  13751  mulginvcom  13752  mulgz  13755  mulgneg2  13761  mulgass  13764  issubg3  13797  grpissubg  13799  0subg  13804  ghmex  13860  0ghm  13863  isabl2  13899