Theorem grpmnd 13653

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13652	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   0gc0g 13402   Mndcmnd 13562   Grpcgrp 13646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-grp 13649

This theorem is referenced by:  grpcl  13654  grpass  13655  grpideu  13657  grpmndd  13659  grpplusf  13661  grpplusfo  13662  grpsgrp  13671  dfgrp2  13673  grpidcl  13675  grplid  13677  grprid  13678  dfgrp3m  13745  prdsgrpd  13755  prdsinvgd  13756  mulgaddcom  13796  mulginvcom  13797  mulgz  13800  mulgneg2  13806  mulgass  13809  issubg3  13842  grpissubg  13844  0subg  13849  ghmex  13905  0ghm  13908  isabl2  13944