Theorem grpmnd 13414

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2206	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2206	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13413	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   +g cplusg 12984   0gc0g 13163   Mndcmnd 13323   Grpcgrp 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-un 3174  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-grp 13410

This theorem is referenced by:  grpcl  13415  grpass  13416  grpideu  13418  grpmndd  13420  grpplusf  13422  grpplusfo  13423  grpsgrp  13432  dfgrp2  13434  grpidcl  13436  grplid  13438  grprid  13439  dfgrp3m  13506  prdsgrpd  13516  prdsinvgd  13517  mulgaddcom  13557  mulginvcom  13558  mulgz  13561  mulgneg2  13567  mulgass  13570  issubg3  13603  grpissubg  13605  0subg  13610  ghmex  13666  0ghm  13669  isabl2  13705