Theorem grpmnd 13555

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13554	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   +g cplusg 13125   0gc0g 13304   Mndcmnd 13464   Grpcgrp 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-grp 13551

This theorem is referenced by:  grpcl  13556  grpass  13557  grpideu  13559  grpmndd  13561  grpplusf  13563  grpplusfo  13564  grpsgrp  13573  dfgrp2  13575  grpidcl  13577  grplid  13579  grprid  13580  dfgrp3m  13647  prdsgrpd  13657  prdsinvgd  13658  mulgaddcom  13698  mulginvcom  13699  mulgz  13702  mulgneg2  13708  mulgass  13711  issubg3  13744  grpissubg  13746  0subg  13751  ghmex  13807  0ghm  13810  isabl2  13846