Theorem grpmnd 13454

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2207	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2207	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13453	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   0gc0g 13203   Mndcmnd 13363   Grpcgrp 13447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-grp 13450

This theorem is referenced by:  grpcl  13455  grpass  13456  grpideu  13458  grpmndd  13460  grpplusf  13462  grpplusfo  13463  grpsgrp  13472  dfgrp2  13474  grpidcl  13476  grplid  13478  grprid  13479  dfgrp3m  13546  prdsgrpd  13556  prdsinvgd  13557  mulgaddcom  13597  mulginvcom  13598  mulgz  13601  mulgneg2  13607  mulgass  13610  issubg3  13643  grpissubg  13645  0subg  13650  ghmex  13706  0ghm  13709  isabl2  13745