Theorem grpmnd 13762

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2234	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13761	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   Mndcmnd 13677   Grpcgrp 13755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-grp 13758

This theorem is referenced by:  grpcl  13763  grpass  13764  grpideu  13766  grpmndd  13768  grpplusf  13770  grpplusfo  13771  grpsgrp  13780  dfgrp2  13782  grpidcl  13784  grplid  13786  grprid  13787  dfgrp3m  13854  mulgaddcom  13899  mulginvcom  13900  mulgz  13903  mulgneg2  13909  mulgass  13912  issubg3  13945  grpissubg  13947  0subg  13952  ghmex  14008  0ghm  14011  isabl2  14047  prdsgrpd  14139  prdsinvgd  14140