Theorem grpmnd 13139

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2196	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13138	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Mndcmnd 13057   Grpcgrp 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-grp 13135

This theorem is referenced by:  grpcl  13140  grpass  13141  grpideu  13143  grpmndd  13145  grpplusf  13147  grpplusfo  13148  grpsgrp  13157  dfgrp2  13159  grpidcl  13161  grplid  13163  grprid  13164  dfgrp3m  13231  mulgaddcom  13276  mulginvcom  13277  mulgz  13280  mulgneg2  13286  mulgass  13289  issubg3  13322  grpissubg  13324  0subg  13329  ghmex  13385  0ghm  13388  isabl2  13424