Theorem grpmnd 13865

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13864	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   +g cplusg 13484   0gc0g 13663   Mndcmnd 13782   Grpcgrp 13858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-grp 13861

This theorem is used by:  grpcl  13866  grpass  13867  grpideu  13869  grpmndd  13871  grpplusf  13873  grpplusfo  13874  grpsgrp  13883  dfgrp2  13885  grpidcl  13887  grplid  13889  grprid  13890  dfgrp3m  13957  mulgaddcom  14002  mulginvcom  14003  mulgz  14006  mulgneg2  14012  mulgass  14015  issubg3  14048  grpissubg  14050  0subg  14055  ghmex  14111  0ghm  14114  cntzsubg  14165  isabl2  14181  prdsgrpd  14281  prdsinvgd  14282