Theorem grpmnd 13580

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13579	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   +g cplusg 13150   0gc0g 13329   Mndcmnd 13489   Grpcgrp 13573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-grp 13576

This theorem is referenced by:  grpcl  13581  grpass  13582  grpideu  13584  grpmndd  13586  grpplusf  13588  grpplusfo  13589  grpsgrp  13598  dfgrp2  13600  grpidcl  13602  grplid  13604  grprid  13605  dfgrp3m  13672  prdsgrpd  13682  prdsinvgd  13683  mulgaddcom  13723  mulginvcom  13724  mulgz  13727  mulgneg2  13733  mulgass  13736  issubg3  13769  grpissubg  13771  0subg  13776  ghmex  13832  0ghm  13835  isabl2  13871