Theorem grpmnd 13861

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13860	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13401   +g cplusg 13480   0gc0g 13659   Mndcmnd 13778   Grpcgrp 13854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-grp 13857

This theorem is used by:  grpcl  13862  grpass  13863  grpideu  13865  grpmndd  13867  grpplusf  13869  grpplusfo  13870  grpsgrp  13879  dfgrp2  13881  grpidcl  13883  grplid  13885  grprid  13886  dfgrp3m  13953  mulgaddcom  13998  mulginvcom  13999  mulgz  14002  mulgneg2  14008  mulgass  14011  issubg3  14044  grpissubg  14046  0subg  14051  ghmex  14107  0ghm  14110  isabl2  14146  prdsgrpd  14246  prdsinvgd  14247