Theorem grpmnd 13870

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13869	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13409   +g cplusg 13489   0gc0g 13668   Mndcmnd 13787   Grpcgrp 13863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-grp 13866

This theorem is used by:  grpcl  13871  grpass  13872  grpideu  13874  grpmndd  13876  grpplusf  13878  grpplusfo  13879  grpsgrp  13888  dfgrp2  13890  grpidcl  13892  grplid  13894  grprid  13895  dfgrp3m  13962  mulgaddcom  14007  mulginvcom  14008  mulgz  14011  mulgneg2  14017  mulgass  14020  issubg3  14053  grpissubg  14055  0subg  14060  ghmex  14116  0ghm  14119  cntzsubg  14170  isabl2  14186  prdsgrpd  14303  prdsinvgd  14304