Theorem grpmnd 13871

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13870	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   0gc0g 13669   Mndcmnd 13788   Grpcgrp 13864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-grp 13867

This theorem is used by:  grpcl  13872  grpass  13873  grpideu  13875  grpmndd  13877  grpplusf  13879  grpplusfo  13880  grpsgrp  13889  dfgrp2  13891  grpidcl  13893  grplid  13895  grprid  13896  dfgrp3m  13963  mulgaddcom  14008  mulginvcom  14009  mulgz  14012  mulgneg2  14018  mulgass  14021  issubg3  14054  grpissubg  14056  0subg  14061  ghmex  14117  0ghm  14120  cntzsubg  14171  isabl2  14187  prdsgrpd  14304  prdsinvgd  14305