Theorem grpmnd 13589

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	|- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4	1, 2, 3	isgrp 13588	. 2 |- ( G e. Grp <-> ( G e. Mnd /\ A. a e. ( Base ` G ) E. m e. ( Base ` G ) ( m ( +g ` G ) a ) = ( 0g ` G ) ) )
5	4	simplbi 274	1 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   Mndcmnd 13498   Grpcgrp 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-grp 13585

This theorem is referenced by:  grpcl  13590  grpass  13591  grpideu  13593  grpmndd  13595  grpplusf  13597  grpplusfo  13598  grpsgrp  13607  dfgrp2  13609  grpidcl  13611  grplid  13613  grprid  13614  dfgrp3m  13681  prdsgrpd  13691  prdsinvgd  13692  mulgaddcom  13732  mulginvcom  13733  mulgz  13736  mulgneg2  13742  mulgass  13745  issubg3  13778  grpissubg  13780  0subg  13785  ghmex  13841  0ghm  13844  isabl2  13880