Theorem nntri2or2 6607

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2or2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Proof of Theorem nntri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4676	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B e. On )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B e. On )
3		onelss 4452	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5	4	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> A C_ B )
6	5	orcd 735	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
7		eqimss 3255	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A C_ B )
9	8	orcd 735	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
10		nnon 4676	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A e. On )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> A e. On )
12		onelss 4452	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A -> B C_ A ) )
14	13	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> B C_ A )
15	14	olcd 736	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
16		nntri3or 6602	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
17	6, 9, 15, 16	mpjao3dan 1320	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   Oncon0 4428   omcom 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-tr 4159  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657

This theorem is referenced by:  fientri3  7038