Theorem nntri2or2 6457

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2or2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Proof of Theorem nntri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4581	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B e. On )
2	1	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B e. On )
3		onelss 4359	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5	4	imp 123	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> A C_ B )
6	5	orcd 723	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
7		eqimss 3191	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
8	7	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A C_ B )
9	8	orcd 723	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
10		nnon 4581	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A e. On )
11	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> A e. On )
12		onelss 4359	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A -> B C_ A ) )
14	13	imp 123	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> B C_ A )
15	14	olcd 724	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
16		nntri3or 6452	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
17	6, 9, 15, 16	mpjao3dan 1296	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1342   e. wcel 2135   C_ wss 3111   Oncon0 4335   omcom 4561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-int 3819  df-tr 4075  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562

This theorem is referenced by:  fientri3  6871