Theorem nntri2or2 6584

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2or2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Proof of Theorem nntri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4658	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B e. On )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B e. On )
3		onelss 4434	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5	4	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> A C_ B )
6	5	orcd 735	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
7		eqimss 3247	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A C_ B )
9	8	orcd 735	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
10		nnon 4658	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A e. On )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> A e. On )
12		onelss 4434	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A -> B C_ A ) )
14	13	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> B C_ A )
15	14	olcd 736	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
16		nntri3or 6579	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
17	6, 9, 15, 16	mpjao3dan 1320	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   Oncon0 4410   omcom 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  fientri3  7012