Theorem nntri2or2 6731

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2or2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Proof of Theorem nntri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4732	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B e. On )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B e. On )
3		onelss 4508	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5	4	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> A C_ B )
6	5	orcd 741	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
7		eqimss 3292	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A C_ B )
9	8	orcd 741	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
10		nnon 4732	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A e. On )
11	10	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> A e. On )
12		onelss 4508	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A -> B C_ A ) )
14	13	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> B C_ A )
15	14	olcd 742	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
16		nntri3or 6726	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
17	6, 9, 15, 16	mpjao3dan 1344	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211   Oncon0 4484   omcom 4712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-tr 4209  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713

This theorem is referenced by:  fientri3  7175