Theorem nntri2or2 6731

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2or2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem nntri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4732	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3		onelss 4508	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
5	4	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	orcd 741	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		eqimss 3292	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9	8	orcd 741	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
10		nnon 4732	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ On)
12		onelss 4508	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
14	13	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
15	14	olcd 742	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
16		nntri3or 6726	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	6, 9, 15, 16	mpjao3dan 1344	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3211  Oncon0 4484  ωcom 4712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-tr 4209  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713

This theorem is referenced by:  fientri3  7175