ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri2or2 GIF version

Theorem nntri2or2 6275
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nntri2or2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem nntri2or2
StepHypRef Expression
1 nnon 4439 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
21adantl 272 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3 onelss 4225 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
42, 3syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
54imp 123 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
65orcd 688 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
7 eqimss 3081 . . . 4 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
87adantl 272 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
98orcd 688 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
10 nnon 4439 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
1110adantr 271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ On)
12 onelss 4225 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1311, 12syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1413imp 123 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
1514olcd 689 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
16 nntri3or 6270 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
176, 9, 15, 16mpjao3dan 1244 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 665   = wceq 1290  wcel 1439  wss 3002  Oncon0 4201  ωcom 4420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-iinf 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-uni 3662  df-int 3697  df-tr 3945  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421
This theorem is referenced by:  fientri3  6681
  Copyright terms: Public domain W3C validator