ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri2or2 GIF version

Theorem nntri2or2 6522
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nntri2or2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem nntri2or2
StepHypRef Expression
1 nnon 4627 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
21adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3 onelss 4405 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
42, 3syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
54imp 124 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
65orcd 734 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
7 eqimss 3224 . . . 4 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
87adantl 277 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
98orcd 734 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
10 nnon 4627 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
1110adantr 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ On)
12 onelss 4405 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1311, 12syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1413imp 124 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
1514olcd 735 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
16 nntri3or 6517 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
176, 9, 15, 16mpjao3dan 1318 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  wss 3144  Oncon0 4381  ωcom 4607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608
This theorem is referenced by:  fientri3  6942
  Copyright terms: Public domain W3C validator