Theorem nntri2or2 6642

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2or2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem nntri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4701	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3		onelss 4477	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
5	4	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	orcd 738	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		eqimss 3278	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9	8	orcd 738	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
10		nnon 4701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ On)
12		onelss 4477	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
14	13	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
15	14	olcd 739	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
16		nntri3or 6637	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	6, 9, 15, 16	mpjao3dan 1341	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  Oncon0 4453  ωcom 4681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-int 3923  df-tr 4182  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682

This theorem is referenced by:  fientri3  7073