Theorem nntri2or2 6502

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2or2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem nntri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3		onelss 4389	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
5	4	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	orcd 733	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
7		eqimss 3211	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9	8	orcd 733	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
10		nnon 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ On)
12		onelss 4389	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
14	13	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
15	14	olcd 734	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
16		nntri3or 6497	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	6, 9, 15, 16	mpjao3dan 1307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131  Oncon0 4365  ωcom 4591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-tr 4104  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592

This theorem is referenced by:  fientri3  6917