ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri2or2 GIF version

Theorem nntri2or2 6189
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nntri2or2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem nntri2or2
StepHypRef Expression
1 nnon 4386 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
21adantl 271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ∈ On)
3 onelss 4177 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
42, 3syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
54imp 122 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
65orcd 685 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
7 eqimss 3062 . . . 4 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
87adantl 271 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
98orcd 685 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
10 nnon 4386 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
1110adantr 270 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ On)
12 onelss 4177 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1311, 12syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1413imp 122 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
1514olcd 686 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
16 nntri3or 6184 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
176, 9, 15, 16mpjao3dan 1239 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  wss 2984  Oncon0 4153  ωcom 4367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-uni 3628  df-int 3663  df-tr 3902  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368
This theorem is referenced by:  fientri3  6550
  Copyright terms: Public domain W3C validator