Theorem nndceq 6552

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where B is zero, see nndceq0 4650. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6546	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		elirr 4573	. . . . . . 7 |- -. A e. A
3		eleq2 2257	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
4	2, 3	mtbii 675	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. A e. B )
5	4	con2i 628	. . . . 5 |- ( A e. B -> -. A = B )
6	5	olcd 735	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
7		orc 713	. . . 4 |- ( A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
8		elirr 4573	. . . . . . 7 |- -. B e. B
9		eleq2 2257	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( B e. A <-> B e. B ) )
10	8, 9	mtbiri 676	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. B e. A )
11	10	con2i 628	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A = B )
12	11	olcd 735	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A = B \/ -. A = B ) )
13	6, 7, 12	3jaoi 1314	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
15		df-dc 836	. 2 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ -. A = B ) )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2164   omcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6560  fidceq  6925  unsnfidcex  6976  unsnfidcel  6977  nninfwlporlemd  7231  nninfwlporlem  7232  nninfwlpoimlemg  7234  nninfwlpoimlemginf  7235  2onetap  7315  2omotaplemap  7317  enqdc  7421  nninfctlemfo  12177  xpscf  12930  nninfsellemdc  15500