Theorem nndceq 6566

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where B is zero, see nndceq0 4655. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6560	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		elirr 4578	. . . . . . 7 |- -. A e. A
3		eleq2 2260	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
4	2, 3	mtbii 675	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. A e. B )
5	4	con2i 628	. . . . 5 |- ( A e. B -> -. A = B )
6	5	olcd 735	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
7		orc 713	. . . 4 |- ( A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
8		elirr 4578	. . . . . . 7 |- -. B e. B
9		eleq2 2260	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( B e. A <-> B e. B ) )
10	8, 9	mtbiri 676	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. B e. A )
11	10	con2i 628	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A = B )
12	11	olcd 735	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A = B \/ -. A = B ) )
13	6, 7, 12	3jaoi 1314	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
15		df-dc 836	. 2 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ -. A = B ) )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   omcom 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-tr 4133  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6574  fidceq  6939  unsnfidcex  6990  unsnfidcel  6991  nninfwlporlemd  7247  nninfwlporlem  7248  nninfwlpoimlemg  7250  nninfwlpoimlemginf  7251  2onetap  7338  2omotaplemap  7340  enqdc  7445  nninfctlemfo  12232  xpscf  13049  2omap  15726  nninfsellemdc  15741