Theorem nndceq 6517

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where B is zero, see nndceq0 4631. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6511	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		elirr 4554	. . . . . . 7 |- -. A e. A
3		eleq2 2252	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
4	2, 3	mtbii 675	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. A e. B )
5	4	con2i 628	. . . . 5 |- ( A e. B -> -. A = B )
6	5	olcd 735	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
7		orc 713	. . . 4 |- ( A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
8		elirr 4554	. . . . . . 7 |- -. B e. B
9		eleq2 2252	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( B e. A <-> B e. B ) )
10	8, 9	mtbiri 676	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. B e. A )
11	10	con2i 628	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A = B )
12	11	olcd 735	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A = B \/ -. A = B ) )
13	6, 7, 12	3jaoi 1313	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
15		df-dc 836	. 2 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ -. A = B ) )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 978   = wceq 1363   e. wcel 2159   omcom 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-uni 3824  df-int 3859  df-tr 4116  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6525  fidceq  6886  unsnfidcex  6936  unsnfidcel  6937  nninfwlporlemd  7187  nninfwlporlem  7188  nninfwlpoimlemg  7190  nninfwlpoimlemginf  7191  2onetap  7271  2omotaplemap  7273  enqdc  7377  xpscf  12788  nninfsellemdc  15143