Theorem nndceq 6762

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where B is zero, see nndceq0 4760. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6756	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		elirr 4683	. . . . . . 7 |- -. A e. A
3		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
4	2, 3	mtbii 685	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. A e. B )
5	4	con2i 636	. . . . 5 |- ( A e. B -> -. A = B )
6	5	olcd 746	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
7		orc 724	. . . 4 |- ( A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
8		elirr 4683	. . . . . . 7 |- -. B e. B
9		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( B e. A <-> B e. B ) )
10	8, 9	mtbiri 686	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. B e. A )
11	10	con2i 636	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A = B )
12	11	olcd 746	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A = B \/ -. A = B ) )
13	6, 7, 12	3jaoi 1344	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
15		df-dc 847	. 2 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ -. A = B ) )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   omcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-tr 4225  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6770  fidceq  7161  fidcen  7193  unsnfidcex  7217  unsnfidcel  7218  2omap  7308  nninfwlporlemd  7502  nninfwlporlem  7503  nninfwlpoimlemg  7505  nninfwlpoimlemginf  7506  2onetap  7611  2omotaplemap  7613  enqdc  7718  nninfctlemfo  12795  xpscf  13645  nninfsellemdc  16958