Theorem nndceq 6653

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where B is zero, see nndceq0 4710. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6647	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		elirr 4633	. . . . . . 7 |- -. A e. A
3		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
4	2, 3	mtbii 678	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. A e. B )
5	4	con2i 630	. . . . 5 |- ( A e. B -> -. A = B )
6	5	olcd 739	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
7		orc 717	. . . 4 |- ( A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
8		elirr 4633	. . . . . . 7 |- -. B e. B
9		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( B e. A <-> B e. B ) )
10	8, 9	mtbiri 679	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. B e. A )
11	10	con2i 630	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A = B )
12	11	olcd 739	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A = B \/ -. A = B ) )
13	6, 7, 12	3jaoi 1337	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
15		df-dc 840	. 2 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ -. A = B ) )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   omcom 4682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-tr 4183  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6661  fidceq  7039  fidcen  7069  unsnfidcex  7093  unsnfidcel  7094  nninfwlporlemd  7350  nninfwlporlem  7351  nninfwlpoimlemg  7353  nninfwlpoimlemginf  7354  2onetap  7452  2omotaplemap  7454  enqdc  7559  nninfctlemfo  12577  xpscf  13396  2omap  16446  nninfsellemdc  16464