Theorem nndceq 6446

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where B is zero, see nndceq0 4577. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6440	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		elirr 4500	. . . . . . 7 |- -. A e. A
3		eleq2 2221	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
4	2, 3	mtbii 664	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. A e. B )
5	4	con2i 617	. . . . 5 |- ( A e. B -> -. A = B )
6	5	olcd 724	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
7		orc 702	. . . 4 |- ( A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
8		elirr 4500	. . . . . . 7 |- -. B e. B
9		eleq2 2221	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( B e. A <-> B e. B ) )
10	8, 9	mtbiri 665	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. B e. A )
11	10	con2i 617	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A = B )
12	11	olcd 724	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A = B \/ -. A = B ) )
13	6, 7, 12	3jaoi 1285	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
15		df-dc 821	. 2 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ -. A = B ) )
16	14, 15	sylibr 133	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   \/ w3o 962   = wceq 1335   e. wcel 2128   omcom 4549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-int 3808  df-tr 4063  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6454  fidceq  6814  unsnfidcex  6864  unsnfidcel  6865  enqdc  7281  nninfsellemdc  13582