Theorem nndceq 6502

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where B is zero, see nndceq0 4619. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6496	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		elirr 4542	. . . . . . 7 |- -. A e. A
3		eleq2 2241	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
4	2, 3	mtbii 674	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. A e. B )
5	4	con2i 627	. . . . 5 |- ( A e. B -> -. A = B )
6	5	olcd 734	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
7		orc 712	. . . 4 |- ( A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
8		elirr 4542	. . . . . . 7 |- -. B e. B
9		eleq2 2241	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( B e. A <-> B e. B ) )
10	8, 9	mtbiri 675	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. B e. A )
11	10	con2i 627	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A = B )
12	11	olcd 734	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A = B \/ -. A = B ) )
13	6, 7, 12	3jaoi 1303	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
15		df-dc 835	. 2 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ -. A = B ) )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   omcom 4591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-tr 4104  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6510  fidceq  6871  unsnfidcex  6921  unsnfidcel  6922  nninfwlporlemd  7172  nninfwlporlem  7173  nninfwlpoimlemg  7175  nninfwlpoimlemginf  7176  2onetap  7256  2omotaplemap  7258  enqdc  7362  xpscf  12771  nninfsellemdc  14844