Theorem nndceq 6710

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where B is zero, see nndceq0 4722. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6704	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		elirr 4645	. . . . . . 7 |- -. A e. A
3		eleq2 2295	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
4	2, 3	mtbii 681	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. A e. B )
5	4	con2i 632	. . . . 5 |- ( A e. B -> -. A = B )
6	5	olcd 742	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
7		orc 720	. . . 4 |- ( A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
8		elirr 4645	. . . . . . 7 |- -. B e. B
9		eleq2 2295	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( B e. A <-> B e. B ) )
10	8, 9	mtbiri 682	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. B e. A )
11	10	con2i 632	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A = B )
12	11	olcd 742	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A = B \/ -. A = B ) )
13	6, 7, 12	3jaoi 1340	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
15		df-dc 843	. 2 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ -. A = B ) )
16	14, 15	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-tr 4193  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6718  fidceq  7099  fidcen  7131  unsnfidcex  7155  unsnfidcel  7156  nninfwlporlemd  7431  nninfwlporlem  7432  nninfwlpoimlemg  7434  nninfwlpoimlemginf  7435  2onetap  7534  2omotaplemap  7536  enqdc  7641  nninfctlemfo  12691  xpscf  13510  2omap  16715  nninfsellemdc  16736