Theorem nntri3 6480

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4526	. . . . . 6 |- -. A e. A
2		eleq2 2235	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 670	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 623	. . . 4 |- ( A e. B -> -. A = B )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. A = B )
6		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. A e. B )
7	6	con2i 623	. . . 4 |- ( A e. B -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
8	7	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
9	5, 8	2falsed 698	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
10		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A = B )
11		eleq1 2234	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> B e. A ) )
12	1, 11	mtbii 670	. . . . 5 |- ( A = B -> -. B e. A )
13	3, 12	jca 304	. . . 4 |- ( A = B -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
14	13	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
15	10, 14	2thd 174	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
16	12	con2i 623	. . . 4 |- ( B e. A -> -. A = B )
17	16	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. A = B )
18		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. B e. A )
19	18	con2i 623	. . . 4 |- ( B e. A -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
20	19	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
21	17, 20	2falsed 698	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
22		nntri3or 6476	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
23	9, 15, 21, 22	mpjao3dan 1303	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1349   e. wcel 2142   omcom 4575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-v 2733  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-uni 3798  df-int 3833  df-tr 4089  df-iord 4352  df-on 4354  df-suc 4357  df-iom 4576

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10366  nnti  14112