Theorem nntri3 6732

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4665	. . . . . 6 |- -. A e. A
2		eleq2 2298	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 681	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 632	. . . 4 |- ( A e. B -> -. A = B )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. A = B )
6		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. A e. B )
7	6	con2i 632	. . . 4 |- ( A e. B -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
9	5, 8	2falsed 710	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A = B )
11		eleq1 2297	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> B e. A ) )
12	1, 11	mtbii 681	. . . . 5 |- ( A = B -> -. B e. A )
13	3, 12	jca 306	. . . 4 |- ( A = B -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
14	13	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
15	10, 14	2thd 175	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
16	12	con2i 632	. . . 4 |- ( B e. A -> -. A = B )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. A = B )
18		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. B e. A )
19	18	con2i 632	. . . 4 |- ( B e. A -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
21	17, 20	2falsed 710	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
22		nntri3or 6728	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
23	9, 15, 21, 22	mpjao3dan 1344	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   omcom 4714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-uni 3917  df-int 3952  df-tr 4211  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10772  nnti  16783