Theorem nntri3 6393

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4456	. . . . . 6 |- -. A e. A
2		eleq2 2203	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 663	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 616	. . . 4 |- ( A e. B -> -. A = B )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. A = B )
6		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. A e. B )
7	6	con2i 616	. . . 4 |- ( A e. B -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
8	7	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
9	5, 8	2falsed 691	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
10		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A = B )
11		eleq1 2202	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> B e. A ) )
12	1, 11	mtbii 663	. . . . 5 |- ( A = B -> -. B e. A )
13	3, 12	jca 304	. . . 4 |- ( A = B -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
14	13	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
15	10, 14	2thd 174	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
16	12	con2i 616	. . . 4 |- ( B e. A -> -. A = B )
17	16	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. A = B )
18		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. B e. A )
19	18	con2i 616	. . . 4 |- ( B e. A -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
20	19	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
21	17, 20	2falsed 691	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
22		nntri3or 6389	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
23	9, 15, 21, 22	mpjao3dan 1285	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   omcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10179  nnti  13191