Theorem nntri3 6555

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4577	. . . . . 6 |- -. A e. A
2		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 675	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 628	. . . 4 |- ( A e. B -> -. A = B )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. A = B )
6		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. A e. B )
7	6	con2i 628	. . . 4 |- ( A e. B -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
9	5, 8	2falsed 703	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A = B )
11		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> B e. A ) )
12	1, 11	mtbii 675	. . . . 5 |- ( A = B -> -. B e. A )
13	3, 12	jca 306	. . . 4 |- ( A = B -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
14	13	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
15	10, 14	2thd 175	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
16	12	con2i 628	. . . 4 |- ( B e. A -> -. A = B )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. A = B )
18		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. B e. A )
19	18	con2i 628	. . . 4 |- ( B e. A -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
20	19	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
21	17, 20	2falsed 703	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
22		nntri3or 6551	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
23	9, 15, 21, 22	mpjao3dan 1318	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   omcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10498  nnti  15639