ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri3 Unicode version

Theorem nntri3 6386
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nntri3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )

Proof of Theorem nntri3
StepHypRef Expression
1 elirr 4451 . . . . . 6  |-  -.  A  e.  A
2 eleq2 2201 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  A  <->  A  e.  B ) )
31, 2mtbii 663 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  e.  B )
43con2i 616 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A  =  B )
54adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  -.  A  =  B )
6 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
)  ->  -.  A  e.  B )
76con2i 616 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  -.  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) )
87adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  -.  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
) )
95, 82falsed 691 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )
10 simpr 109 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  =  B
)  ->  A  =  B )
11 eleq1 2200 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  A  <->  B  e.  A ) )
121, 11mtbii 663 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  -.  B  e.  A )
133, 12jca 304 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
) )
1413adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  =  B
)  ->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
) )
1510, 142thd 174 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  =  B
)  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )
1612con2i 616 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  -.  A  =  B )
1716adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  e.  A
)  ->  -.  A  =  B )
18 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
)  ->  -.  B  e.  A )
1918con2i 616 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  -.  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) )
2019adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  e.  A
)  ->  -.  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
) )
2117, 202falsed 691 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  e.  A
)  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )
22 nntri3or 6382 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
239, 15, 21, 22mpjao3dan 1285 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   omcom 4499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500
This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10172  nnti  13180
  Copyright terms: Public domain W3C validator