Theorem nntri3 6465

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4518	. . . . . 6 |- -. A e. A
2		eleq2 2230	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 664	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 617	. . . 4 |- ( A e. B -> -. A = B )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. A = B )
6		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. A e. B )
7	6	con2i 617	. . . 4 |- ( A e. B -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
8	7	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
9	5, 8	2falsed 692	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
10		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A = B )
11		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. A <-> B e. A ) )
12	1, 11	mtbii 664	. . . . 5 |- ( A = B -> -. B e. A )
13	3, 12	jca 304	. . . 4 |- ( A = B -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
14	13	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
15	10, 14	2thd 174	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
16	12	con2i 617	. . . 4 |- ( B e. A -> -. A = B )
17	16	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. A = B )
18		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( -. A e. B /\ -. B e. A ) -> -. B e. A )
19	18	con2i 617	. . . 4 |- ( B e. A -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
20	19	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> -. ( -. A e. B /\ -. B e. A ) )
21	17, 20	2falsed 692	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )
22		nntri3or 6461	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
23	9, 15, 21, 22	mpjao3dan 1297	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B <-> ( -. A e. B /\ -. B e. A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10341  nnti  13874