Theorem nntri3or 6579

Description: Trichotomy for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3or	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Proof of Theorem nntri3or

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2269	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
2		eqeq2 2215	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A = x <-> A = B ) )
3		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( x = B -> ( x e. A <-> B e. A ) )
4	1, 2, 3	3orbi123d 1324	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) ) <-> ( A e. om -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) ) )
6		eleq2 2269	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) )
7		eqeq2 2215	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A = x <-> A = (/) ) )
8		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x e. A <-> (/) e. A ) )
9	6, 7, 8	3orbi123d 1324	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) ) )
10		eleq2 2269	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
11		eqeq2 2215	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A = x <-> A = y ) )
12		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
13	10, 11, 12	3orbi123d 1324	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) ) )
14		eleq2 2269	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) )
15		eqeq2 2215	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A = x <-> A = suc y ) )
16		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x e. A <-> suc y e. A ) )
17	14, 15, 16	3orbi123d 1324	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
18		0elnn 4667	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ (/) e. A ) )
19		olc 713	. . . . . 6 |- ( ( A = (/) \/ (/) e. A ) -> ( A e. (/) \/ ( A = (/) \/ (/) e. A ) ) )
20		3orass 984	. . . . . 6 |- ( ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) <-> ( A e. (/) \/ ( A = (/) \/ (/) e. A ) ) )
21	19, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( A = (/) \/ (/) e. A ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) )
22	18, 21	syl 14	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) )
23		df-3or 982	. . . . . 6 |- ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) <-> ( ( A e. y \/ A = y ) \/ y e. A ) )
24		elex 2783	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> y e. _V )
25		elsuc2g 4452	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> ( A e. suc y <-> ( A e. y \/ A = y ) ) )
26		3mix1 1169	. . . . . . . . 9 |- ( A e. suc y -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) )
27	25, 26	biimtrrdi 164	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
28	24, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
29		nnsucelsuc 6577	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( y e. A <-> suc y e. suc A ) )
30		elsuci 4450	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. suc A -> ( suc y e. A \/ suc y = A ) )
31	29, 30	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( y e. A -> ( suc y e. A \/ suc y = A ) ) )
32		eqcom 2207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc y = A <-> A = suc y )
33	32	orbi2i 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) <-> ( suc y e. A \/ A = suc y ) )
34	33	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( suc y e. A \/ A = suc y ) )
35	34	orcomd 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( A = suc y \/ suc y e. A ) )
36	35	olcd 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( A e. suc y \/ ( A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
37		3orass 984	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) <-> ( A e. suc y \/ ( A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) )
39	31, 38	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( y e. A -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
40	28, 39	jaao 721	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A e. y \/ A = y ) \/ y e. A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
41	23, 40	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
42	41	ex 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) ) )
43	9, 13, 17, 22, 42	finds2 4649	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) ) )
44	5, 43	vtoclga 2839	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
45	44	impcom 125	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   suc csuc 4412   omcom 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  nntri2  6580  nntri1  6582  nntri3  6583  nntri2or2  6584  nndceq  6585  nndcel  6586  nnsseleq  6587  nntr2  6589  nnawordex  6615  nnwetri  7013  nnnninfeq  7230  ltsopi  7433  pitri3or  7435  frec2uzlt2d  10549  nninfctlemfo  12361  ennnfonelemk  12771  ennnfonelemex  12785