Theorem nntri3or 6433

Description: Trichotomy for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3or	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Proof of Theorem nntri3or

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2221	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
2		eqeq2 2167	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A = x <-> A = B ) )
3		eleq1 2220	. . . . 5 |- ( x = B -> ( x e. A <-> B e. A ) )
4	1, 2, 3	3orbi123d 1293	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) ) <-> ( A e. om -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) ) )
6		eleq2 2221	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) )
7		eqeq2 2167	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A = x <-> A = (/) ) )
8		eleq1 2220	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x e. A <-> (/) e. A ) )
9	6, 7, 8	3orbi123d 1293	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) ) )
10		eleq2 2221	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
11		eqeq2 2167	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A = x <-> A = y ) )
12		eleq1 2220	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
13	10, 11, 12	3orbi123d 1293	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) ) )
14		eleq2 2221	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) )
15		eqeq2 2167	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A = x <-> A = suc y ) )
16		eleq1 2220	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x e. A <-> suc y e. A ) )
17	14, 15, 16	3orbi123d 1293	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
18		0elnn 4576	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ (/) e. A ) )
19		olc 701	. . . . . 6 |- ( ( A = (/) \/ (/) e. A ) -> ( A e. (/) \/ ( A = (/) \/ (/) e. A ) ) )
20		3orass 966	. . . . . 6 |- ( ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) <-> ( A e. (/) \/ ( A = (/) \/ (/) e. A ) ) )
21	19, 20	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( A = (/) \/ (/) e. A ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) )
22	18, 21	syl 14	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) )
23		df-3or 964	. . . . . 6 |- ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) <-> ( ( A e. y \/ A = y ) \/ y e. A ) )
24		elex 2723	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> y e. _V )
25		elsuc2g 4364	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> ( A e. suc y <-> ( A e. y \/ A = y ) ) )
26		3mix1 1151	. . . . . . . . 9 |- ( A e. suc y -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) )
27	25, 26	syl6bir 163	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
28	24, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
29		nnsucelsuc 6431	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( y e. A <-> suc y e. suc A ) )
30		elsuci 4362	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. suc A -> ( suc y e. A \/ suc y = A ) )
31	29, 30	syl6bi 162	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( y e. A -> ( suc y e. A \/ suc y = A ) ) )
32		eqcom 2159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc y = A <-> A = suc y )
33	32	orbi2i 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) <-> ( suc y e. A \/ A = suc y ) )
34	33	biimpi 119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( suc y e. A \/ A = suc y ) )
35	34	orcomd 719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( A = suc y \/ suc y e. A ) )
36	35	olcd 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( A e. suc y \/ ( A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
37		3orass 966	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) <-> ( A e. suc y \/ ( A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
38	36, 37	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) )
39	31, 38	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( y e. A -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
40	28, 39	jaao 709	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A e. y \/ A = y ) \/ y e. A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
41	23, 40	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
42	41	ex 114	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) ) )
43	9, 13, 17, 22, 42	finds2 4558	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) ) )
44	5, 43	vtoclga 2778	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
45	44	impcom 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   \/ w3o 962   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   (/)c0 3394   suc csuc 4324   omcom 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-int 3808  df-tr 4063  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548

This theorem is referenced by:  nntri2  6434  nntri1  6436  nntri3  6437  nntri2or2  6438  nndceq  6439  nndcel  6440  nnsseleq  6441  nntr2  6443  nnawordex  6468  nnwetri  6853  ltsopi  7223  pitri3or  7225  frec2uzlt2d  10285  ennnfonelemk  12101  ennnfonelemex  12115  nninfalllemn  13542