Theorem nntri3or 6491

Description: Trichotomy for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3or	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Proof of Theorem nntri3or

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2241	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
2		eqeq2 2187	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A = x <-> A = B ) )
3		eleq1 2240	. . . . 5 |- ( x = B -> ( x e. A <-> B e. A ) )
4	1, 2, 3	3orbi123d 1311	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) ) <-> ( A e. om -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) ) )
6		eleq2 2241	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) )
7		eqeq2 2187	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A = x <-> A = (/) ) )
8		eleq1 2240	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x e. A <-> (/) e. A ) )
9	6, 7, 8	3orbi123d 1311	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) ) )
10		eleq2 2241	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
11		eqeq2 2187	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A = x <-> A = y ) )
12		eleq1 2240	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
13	10, 11, 12	3orbi123d 1311	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) ) )
14		eleq2 2241	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) )
15		eqeq2 2187	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A = x <-> A = suc y ) )
16		eleq1 2240	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x e. A <-> suc y e. A ) )
17	14, 15, 16	3orbi123d 1311	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) <-> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
18		0elnn 4617	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ (/) e. A ) )
19		olc 711	. . . . . 6 |- ( ( A = (/) \/ (/) e. A ) -> ( A e. (/) \/ ( A = (/) \/ (/) e. A ) ) )
20		3orass 981	. . . . . 6 |- ( ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) <-> ( A e. (/) \/ ( A = (/) \/ (/) e. A ) ) )
21	19, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( A = (/) \/ (/) e. A ) -> ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) )
22	18, 21	syl 14	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A e. (/) \/ A = (/) \/ (/) e. A ) )
23		df-3or 979	. . . . . 6 |- ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) <-> ( ( A e. y \/ A = y ) \/ y e. A ) )
24		elex 2748	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> y e. _V )
25		elsuc2g 4404	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> ( A e. suc y <-> ( A e. y \/ A = y ) ) )
26		3mix1 1166	. . . . . . . . 9 |- ( A e. suc y -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) )
27	25, 26	syl6bir 164	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
28	24, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( y e. om -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
29		nnsucelsuc 6489	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( y e. A <-> suc y e. suc A ) )
30		elsuci 4402	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. suc A -> ( suc y e. A \/ suc y = A ) )
31	29, 30	syl6bi 163	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( y e. A -> ( suc y e. A \/ suc y = A ) ) )
32		eqcom 2179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc y = A <-> A = suc y )
33	32	orbi2i 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) <-> ( suc y e. A \/ A = suc y ) )
34	33	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( suc y e. A \/ A = suc y ) )
35	34	orcomd 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( A = suc y \/ suc y e. A ) )
36	35	olcd 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( A e. suc y \/ ( A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
37		3orass 981	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) <-> ( A e. suc y \/ ( A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( suc y e. A \/ suc y = A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) )
39	31, 38	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( y e. A -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
40	28, 39	jaao 719	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A e. y \/ A = y ) \/ y e. A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
41	23, 40	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) )
42	41	ex 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) -> ( A e. suc y \/ A = suc y \/ suc y e. A ) ) ) )
43	9, 13, 17, 22, 42	finds2 4599	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A e. x \/ A = x \/ x e. A ) ) )
44	5, 43	vtoclga 2803	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
45	44	impcom 125	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   suc csuc 4364   omcom 4588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-tr 4101  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589

This theorem is referenced by:  nntri2  6492  nntri1  6494  nntri3  6495  nntri2or2  6496  nndceq  6497  nndcel  6498  nnsseleq  6499  nntr2  6501  nnawordex  6527  nnwetri  6912  nnnninfeq  7123  ltsopi  7316  pitri3or  7318  frec2uzlt2d  10399  ennnfonelemk  12393  ennnfonelemex  12407