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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fientri3 | Unicode version |
Description: Trichotomy of dominance for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.) |
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fientri3 |
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1 | isfi 6585 |
. . . 4
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2 | 1 | biimpi 119 |
. . 3
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3 | 2 | adantr 272 |
. 2
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4 | isfi 6585 |
. . . . 5
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5 | 4 | biimpi 119 |
. . . 4
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6 | 5 | ad2antlr 476 |
. . 3
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7 | simplrr 506 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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9 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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10 | simplrl 505 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 10 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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12 | simplrl 505 |
. . . . . . . . 9
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13 | nndomo 6687 |
. . . . . . . . 9
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14 | 11, 12, 13 | syl2anc 406 |
. . . . . . . 8
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15 | 9, 14 | mpbird 166 |
. . . . . . 7
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16 | endomtr 6614 |
. . . . . . 7
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17 | 8, 15, 16 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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18 | simplrr 506 |
. . . . . . 7
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19 | 18 | ensymd 6607 |
. . . . . 6
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20 | domentr 6615 |
. . . . . 6
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21 | 17, 19, 20 | syl2anc 406 |
. . . . 5
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22 | 21 | orcd 693 |
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23 | simplrr 506 |
. . . . . . 7
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24 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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25 | simplrl 505 |
. . . . . . . . 9
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26 | 10 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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27 | nndomo 6687 |
. . . . . . . . 9
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28 | 25, 26, 27 | syl2anc 406 |
. . . . . . . 8
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29 | 24, 28 | mpbird 166 |
. . . . . . 7
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30 | endomtr 6614 |
. . . . . . 7
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31 | 23, 29, 30 | syl2anc 406 |
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32 | 7 | adantr 272 |
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33 | 32 | ensymd 6607 |
. . . . . 6
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34 | domentr 6615 |
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35 | 31, 33, 34 | syl2anc 406 |
. . . . 5
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36 | 35 | olcd 694 |
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37 | simprl 501 |
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38 | nntri2or2 6324 |
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39 | 10, 37, 38 | syl2anc 406 |
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40 | 22, 36, 39 | mpjaodan 753 |
. . 3
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41 | 6, 40 | rexlimddv 2513 |
. 2
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42 | 3, 41 | rexlimddv 2513 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-ral 2380 df-rex 2381 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-br 3876 df-opab 3930 df-tr 3967 df-id 4153 df-iord 4226 df-on 4228 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-er 6359 df-en 6565 df-dom 6566 df-fin 6567 |
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