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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fientri3 | Unicode version |
Description: Trichotomy of dominance for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.) |
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fientri3 |
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1 | isfi 6788 |
. . . 4
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2 | 1 | biimpi 120 |
. . 3
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3 | 2 | adantr 276 |
. 2
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4 | isfi 6788 |
. . . . 5
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5 | 4 | biimpi 120 |
. . . 4
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6 | 5 | ad2antlr 489 |
. . 3
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7 | simplrr 536 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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9 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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10 | simplrl 535 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 10 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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12 | simplrl 535 |
. . . . . . . . 9
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13 | nndomo 6893 |
. . . . . . . . 9
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14 | 11, 12, 13 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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15 | 9, 14 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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16 | endomtr 6817 |
. . . . . . 7
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17 | 8, 15, 16 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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18 | simplrr 536 |
. . . . . . 7
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19 | 18 | ensymd 6810 |
. . . . . 6
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20 | domentr 6818 |
. . . . . 6
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21 | 17, 19, 20 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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22 | 21 | orcd 734 |
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23 | simplrr 536 |
. . . . . . 7
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24 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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25 | simplrl 535 |
. . . . . . . . 9
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26 | 10 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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27 | nndomo 6893 |
. . . . . . . . 9
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28 | 25, 26, 27 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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29 | 24, 28 | mpbird 167 |
. . . . . . 7
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30 | endomtr 6817 |
. . . . . . 7
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31 | 23, 29, 30 | syl2anc 411 |
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32 | 7 | adantr 276 |
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33 | 32 | ensymd 6810 |
. . . . . 6
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34 | domentr 6818 |
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35 | 31, 33, 34 | syl2anc 411 |
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36 | 35 | olcd 735 |
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37 | simprl 529 |
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38 | nntri2or2 6524 |
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39 | 10, 37, 38 | syl2anc 411 |
. . . 4
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40 | 22, 36, 39 | mpjaodan 799 |
. . 3
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41 | 6, 40 | rexlimddv 2612 |
. 2
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42 | 3, 41 | rexlimddv 2612 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-br 4019 df-opab 4080 df-tr 4117 df-id 4311 df-iord 4384 df-on 4386 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-er 6560 df-en 6768 df-dom 6769 df-fin 6770 |
This theorem is referenced by: (None) |
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