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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > elxp5 | Unicode version |
Description: Membership in a cross product requiring no quantifiers or dummy variables. Provides a slightly shorter version of elxp4 4962 when the double intersection does not create class existence problems (caused by int0 3732). (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) |
Ref | Expression |
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elxp5 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elex 2652 |
. 2
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2 | elex 2652 |
. . . 4
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3 | elex 2652 |
. . . 4
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4 | 2, 3 | anim12i 334 |
. . 3
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5 | opexg 4088 |
. . . . 5
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6 | 5 | adantl 273 |
. . . 4
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7 | eleq1 2162 |
. . . . 5
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8 | 7 | adantr 272 |
. . . 4
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9 | 6, 8 | mpbird 166 |
. . 3
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10 | 4, 9 | sylan2 282 |
. 2
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11 | elxp 4494 |
. . . 4
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12 | sneq 3485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | 12 | rneqd 4706 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 13 | unieqd 3694 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | vex 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | vex 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 15, 16 | op2nda 4959 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 14, 17 | syl6req 2149 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | pm4.71ri 387 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | anbi1i 449 |
. . . . . . . . 9
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21 | anass 396 |
. . . . . . . . 9
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22 | 20, 21 | bitri 183 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | exbii 1552 |
. . . . . . 7
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24 | snexg 4048 |
. . . . . . . . . 10
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25 | rnexg 4740 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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27 | uniexg 4299 |
. . . . . . . . 9
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28 | 26, 27 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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29 | opeq2 3653 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | eqeq2d 2111 |
. . . . . . . . . 10
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31 | eleq1 2162 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | anbi2d 455 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 30, 32 | anbi12d 460 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | ceqsexgv 2768 |
. . . . . . . 8
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35 | 28, 34 | syl 14 |
. . . . . . 7
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36 | 23, 35 | syl5bb 191 |
. . . . . 6
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37 | inteq 3721 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | inteqd 3723 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | adantl 273 |
. . . . . . . . . 10
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40 | op1stbg 4338 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 15, 28, 40 | sylancr 408 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | adantr 272 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 39, 42 | eqtr2d 2133 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | ex 114 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | pm4.71rd 389 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | anbi1d 456 |
. . . . . 6
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47 | anass 396 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | a1i 9 |
. . . . . 6
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49 | 36, 46, 48 | 3bitrd 213 |
. . . . 5
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50 | 49 | exbidv 1764 |
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51 | 11, 50 | syl5bb 191 |
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52 | eqvisset 2651 |
. . . . . 6
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53 | 52 | adantr 272 |
. . . . 5
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54 | 53 | exlimiv 1545 |
. . . 4
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55 | 2 | ad2antrl 477 |
. . . 4
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56 | opeq1 3652 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | eqeq2d 2111 |
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58 | eleq1 2162 |
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59 | 58 | anbi1d 456 |
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60 | 57, 59 | anbi12d 460 |
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61 | 60 | ceqsexgv 2768 |
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62 | 54, 55, 61 | pm5.21nii 661 |
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63 | 51, 62 | syl6bb 195 |
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64 | 1, 10, 63 | pm5.21nii 661 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 932 df-tru 1302 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ral 2380 df-rex 2381 df-v 2643 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-br 3876 df-opab 3930 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-dm 4487 df-rn 4488 |
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