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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > elxp5 | Unicode version |
Description: Membership in a cross product requiring no quantifiers or dummy variables. Provides a slightly shorter version of elxp4 5034 when the double intersection does not create class existence problems (caused by int0 3793). (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) |
Ref | Expression |
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elxp5 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elex 2700 |
. 2
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2 | elex 2700 |
. . . 4
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3 | elex 2700 |
. . . 4
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4 | 2, 3 | anim12i 336 |
. . 3
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5 | opexg 4158 |
. . . . 5
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6 | 5 | adantl 275 |
. . . 4
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7 | eleq1 2203 |
. . . . 5
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8 | 7 | adantr 274 |
. . . 4
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9 | 6, 8 | mpbird 166 |
. . 3
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10 | 4, 9 | sylan2 284 |
. 2
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11 | elxp 4564 |
. . . 4
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12 | sneq 3543 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | 12 | rneqd 4776 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 13 | unieqd 3755 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | vex 2692 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | vex 2692 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 15, 16 | op2nda 5031 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 14, 17 | eqtr2di 2190 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | pm4.71ri 390 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | anbi1i 454 |
. . . . . . . . 9
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21 | anass 399 |
. . . . . . . . 9
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22 | 20, 21 | bitri 183 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | exbii 1585 |
. . . . . . 7
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24 | snexg 4116 |
. . . . . . . . . 10
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25 | rnexg 4812 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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27 | uniexg 4369 |
. . . . . . . . 9
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28 | 26, 27 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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29 | opeq2 3714 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | eqeq2d 2152 |
. . . . . . . . . 10
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31 | eleq1 2203 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | anbi2d 460 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 30, 32 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | ceqsexgv 2818 |
. . . . . . . 8
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35 | 28, 34 | syl 14 |
. . . . . . 7
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36 | 23, 35 | syl5bb 191 |
. . . . . 6
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37 | inteq 3782 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | inteqd 3784 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
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40 | op1stbg 4408 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 15, 28, 40 | sylancr 411 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 39, 42 | eqtr2d 2174 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | ex 114 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | pm4.71rd 392 |
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46 | 45 | anbi1d 461 |
. . . . . 6
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47 | anass 399 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | a1i 9 |
. . . . . 6
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49 | 36, 46, 48 | 3bitrd 213 |
. . . . 5
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50 | 49 | exbidv 1798 |
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51 | 11, 50 | syl5bb 191 |
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52 | eqvisset 2699 |
. . . . . 6
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53 | 52 | adantr 274 |
. . . . 5
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54 | 53 | exlimiv 1578 |
. . . 4
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55 | 2 | ad2antrl 482 |
. . . 4
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56 | opeq1 3713 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | eqeq2d 2152 |
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58 | eleq1 2203 |
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59 | 58 | anbi1d 461 |
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60 | 57, 59 | anbi12d 465 |
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61 | 60 | ceqsexgv 2818 |
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62 | 54, 55, 61 | pm5.21nii 694 |
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63 | 51, 62 | syl6bb 195 |
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64 | 1, 10, 63 | pm5.21nii 694 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ral 2422 df-rex 2423 df-v 2691 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-br 3938 df-opab 3998 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-dm 4557 df-rn 4558 |
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