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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > elxp5 | Unicode version |
Description: Membership in a cross product requiring no quantifiers or dummy variables. Provides a slightly shorter version of elxp4 5130 when the double intersection does not create class existence problems (caused by int0 3872). (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) |
Ref | Expression |
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elxp5 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elex 2762 |
. 2
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2 | elex 2762 |
. . . 4
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3 | elex 2762 |
. . . 4
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4 | 2, 3 | anim12i 338 |
. . 3
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5 | opexg 4242 |
. . . . 5
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6 | 5 | adantl 277 |
. . . 4
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7 | eleq1 2251 |
. . . . 5
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8 | 7 | adantr 276 |
. . . 4
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9 | 6, 8 | mpbird 167 |
. . 3
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10 | 4, 9 | sylan2 286 |
. 2
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11 | elxp 4657 |
. . . 4
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12 | sneq 3617 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | 12 | rneqd 4870 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 13 | unieqd 3834 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | vex 2754 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | vex 2754 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 15, 16 | op2nda 5127 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 14, 17 | eqtr2di 2238 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | pm4.71ri 392 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | anbi1i 458 |
. . . . . . . . 9
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21 | anass 401 |
. . . . . . . . 9
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22 | 20, 21 | bitri 184 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | exbii 1615 |
. . . . . . 7
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24 | snexg 4198 |
. . . . . . . . . 10
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25 | rnexg 4906 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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27 | uniexg 4453 |
. . . . . . . . 9
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28 | 26, 27 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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29 | opeq2 3793 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | eqeq2d 2200 |
. . . . . . . . . 10
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31 | eleq1 2251 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | anbi2d 464 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 30, 32 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | ceqsexgv 2880 |
. . . . . . . 8
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35 | 28, 34 | syl 14 |
. . . . . . 7
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36 | 23, 35 | bitrid 192 |
. . . . . 6
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37 | inteq 3861 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | inteqd 3863 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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40 | op1stbg 4493 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 15, 28, 40 | sylancr 414 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 41 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 39, 42 | eqtr2d 2222 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | ex 115 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | pm4.71rd 394 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | anbi1d 465 |
. . . . . 6
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47 | anass 401 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | a1i 9 |
. . . . . 6
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49 | 36, 46, 48 | 3bitrd 214 |
. . . . 5
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50 | 49 | exbidv 1835 |
. . . 4
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51 | 11, 50 | bitrid 192 |
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52 | eqvisset 2761 |
. . . . . 6
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53 | 52 | adantr 276 |
. . . . 5
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54 | 53 | exlimiv 1608 |
. . . 4
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55 | 2 | ad2antrl 490 |
. . . 4
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56 | opeq1 3792 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | eqeq2d 2200 |
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58 | eleq1 2251 |
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59 | 58 | anbi1d 465 |
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60 | 57, 59 | anbi12d 473 |
. . . . 5
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61 | 60 | ceqsexgv 2880 |
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62 | 54, 55, 61 | pm5.21nii 705 |
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63 | 51, 62 | bitrdi 196 |
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64 | 1, 10, 63 | pm5.21nii 705 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2161 ax-14 2162 ax-ext 2170 ax-sep 4135 ax-pow 4188 ax-pr 4223 ax-un 4447 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2040 df-mo 2041 df-clab 2175 df-cleq 2181 df-clel 2184 df-nfc 2320 df-ral 2472 df-rex 2473 df-v 2753 df-un 3147 df-in 3149 df-ss 3156 df-pw 3591 df-sn 3612 df-pr 3613 df-op 3615 df-uni 3824 df-int 3859 df-br 4018 df-opab 4079 df-xp 4646 df-rel 4647 df-cnv 4648 df-dm 4650 df-rn 4651 |
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