Theorem prodeq1i 11957

Description: Equality inference for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1i.1	|- A = B

Assertion

Ref	Expression
prodeq1i	|- prod_ k e. A C = prod_ k e. B C

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1i.1	. 2 |- A = B
2		prodeq1 11949	. 2 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- prod_ k e. A C = prod_ k e. B C

Syntax hints:   = wceq 1373   prod_cprod 11946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-cnv 4696  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-iota 5246  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-recs 6409  df-frec 6495  df-seqfrec 10625  df-proddc 11947

This theorem is referenced by:  prodeq12i  11959  fprodfac  12011  fprodxp  12020