Theorem prodeq1i 11704

Description: Equality inference for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodeq1i.1	|- A = B

Assertion

Ref	Expression
prodeq1i	|- prod_ k e. A C = prod_ k e. B C

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1i.1	. 2 |- A = B
2		prodeq1 11696	. 2 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- prod_ k e. A C = prod_ k e. B C

Syntax hints:   = wceq 1364   prod_cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-seqfrec 10519  df-proddc 11694

This theorem is referenced by:  prodeq12i  11706  fprodfac  11758  fprodxp  11767