Theorem prodeq1 12320

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1	|- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 |- F/_ k A
2		nfcv 2392	. 2 |- F/_ k B
3	1, 2	prodeq1f 12319	1 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   prod_cprod 12317

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-seqfrec 10885  df-proddc 12318

This theorem is used by:  prodeq1i  12328  prodeq1d  12331  prod1dc  12353  fprodf1o  12355  fprodssdc  12357  fprodmul  12358  fprodcl2lem  12372  fprodcllem  12373  fprodconst  12387  fprodap0  12388  fprod2d  12390  fprodrec  12396  fprodap0f  12403  fprodle  12407  fprodmodd  12408