Theorem prodeq1 11596

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1	|- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2332	. 2 |- F/_ k A
2		nfcv 2332	. 2 |- F/_ k B
3	1, 2	prodeq1f 11595	1 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   prod_cprod 11593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-cnv 4652  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-recs 6331  df-frec 6417  df-seqfrec 10479  df-proddc 11594

This theorem is referenced by:  prodeq1i  11604  prodeq1d  11607  prod1dc  11629  fprodf1o  11631  fprodssdc  11633  fprodmul  11634  fprodcl2lem  11648  fprodcllem  11649  fprodconst  11663  fprodap0  11664  fprod2d  11666  fprodrec  11672  fprodap0f  11679  fprodle  11683  fprodmodd  11684