Theorem prodeq1 11699

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1	|- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2336	. 2 |- F/_ k A
2		nfcv 2336	. 2 |- F/_ k B
3	1, 2	prodeq1f 11698	1 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   prod_cprod 11696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-recs 6360  df-frec 6446  df-seqfrec 10522  df-proddc 11697

This theorem is referenced by:  prodeq1i  11707  prodeq1d  11710  prod1dc  11732  fprodf1o  11734  fprodssdc  11736  fprodmul  11737  fprodcl2lem  11751  fprodcllem  11752  fprodconst  11766  fprodap0  11767  fprod2d  11769  fprodrec  11775  fprodap0f  11782  fprodle  11786  fprodmodd  11787