Theorem prodeq1 12101

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1	|- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 |- F/_ k A
2		nfcv 2372	. 2 |- F/_ k B
3	1, 2	prodeq1f 12100	1 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   prod_cprod 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-cnv 4729  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-iota 5282  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-recs 6464  df-frec 6550  df-seqfrec 10698  df-proddc 12099

This theorem is referenced by:  prodeq1i  12109  prodeq1d  12112  prod1dc  12134  fprodf1o  12136  fprodssdc  12138  fprodmul  12139  fprodcl2lem  12153  fprodcllem  12154  fprodconst  12168  fprodap0  12169  fprod2d  12171  fprodrec  12177  fprodap0f  12184  fprodle  12188  fprodmodd  12189