Theorem prodeq1 12079

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1	|- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 |- F/_ k A
2		nfcv 2372	. 2 |- F/_ k B
3	1, 2	prodeq1f 12078	1 |- ( A = B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   prod_cprod 12076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-seqfrec 10682  df-proddc 12077

This theorem is referenced by:  prodeq1i  12087  prodeq1d  12090  prod1dc  12112  fprodf1o  12114  fprodssdc  12116  fprodmul  12117  fprodcl2lem  12131  fprodcllem  12132  fprodconst  12146  fprodap0  12147  fprod2d  12149  fprodrec  12155  fprodap0f  12162  fprodle  12166  fprodmodd  12167