Theorem relcnvexb 5086

Description: A relation is a set iff its converse is a set. (Contributed by FL, 3-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvexb	|- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Proof of Theorem relcnvexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5084	. 2 |- ( R e. _V -> `' R e. _V )
2		dfrel2 4997	. . 3 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )
3		cnvexg 5084	. . . 4 |- ( `' R e. _V -> `' `' R e. _V )
4		eleq1 2203	. . . 4 |- ( `' `' R = R -> ( `' `' R e. _V <-> R e. _V ) )
5	3, 4	syl5ib 153	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
6	2, 5	sylbi 120	. 2 |- ( Rel R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
7	1, 6	impbid2 142	1 |- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   `'ccnv 4546   Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by: (None)