Theorem relcnvexb 5078

Description: A relation is a set iff its converse is a set. (Contributed by FL, 3-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvexb	|- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Proof of Theorem relcnvexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5076	. 2 |- ( R e. _V -> `' R e. _V )
2		dfrel2 4989	. . 3 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )
3		cnvexg 5076	. . . 4 |- ( `' R e. _V -> `' `' R e. _V )
4		eleq1 2202	. . . 4 |- ( `' `' R = R -> ( `' `' R e. _V <-> R e. _V ) )
5	3, 4	syl5ib 153	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
6	2, 5	sylbi 120	. 2 |- ( Rel R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
7	1, 6	impbid2 142	1 |- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   `'ccnv 4538   Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550

This theorem is referenced by: (None)