Theorem relcnvexb 5205

Description: A relation is a set iff its converse is a set. (Contributed by FL, 3-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvexb	|- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Proof of Theorem relcnvexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5203	. 2 |- ( R e. _V -> `' R e. _V )
2		dfrel2 5116	. . 3 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )
3		cnvexg 5203	. . . 4 |- ( `' R e. _V -> `' `' R e. _V )
4		eleq1 2256	. . . 4 |- ( `' `' R = R -> ( `' `' R e. _V <-> R e. _V ) )
5	3, 4	imbitrid 154	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
6	2, 5	sylbi 121	. 2 |- ( Rel R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
7	1, 6	impbid2 143	1 |- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   `'ccnv 4658   Rel wrel 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670

This theorem is referenced by: (None)