Theorem relcnvexb 5183

Description: A relation is a set iff its converse is a set. (Contributed by FL, 3-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvexb	|- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Proof of Theorem relcnvexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5181	. 2 |- ( R e. _V -> `' R e. _V )
2		dfrel2 5094	. . 3 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )
3		cnvexg 5181	. . . 4 |- ( `' R e. _V -> `' `' R e. _V )
4		eleq1 2252	. . . 4 |- ( `' `' R = R -> ( `' `' R e. _V <-> R e. _V ) )
5	3, 4	imbitrid 154	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
6	2, 5	sylbi 121	. 2 |- ( Rel R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
7	1, 6	impbid2 143	1 |- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   `'ccnv 4640   Rel wrel 4646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-dm 4651  df-rn 4652

This theorem is referenced by: (None)