Theorem relcnvexb 5160

Description: A relation is a set iff its converse is a set. (Contributed by FL, 3-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvexb	|- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Proof of Theorem relcnvexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvexg 5158	. 2 |- ( R e. _V -> `' R e. _V )
2		dfrel2 5071	. . 3 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )
3		cnvexg 5158	. . . 4 |- ( `' R e. _V -> `' `' R e. _V )
4		eleq1 2238	. . . 4 |- ( `' `' R = R -> ( `' `' R e. _V <-> R e. _V ) )
5	3, 4	syl5ib 154	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
6	2, 5	sylbi 121	. 2 |- ( Rel R -> ( `' R e. _V -> R e. _V ) )
7	1, 6	impbid2 143	1 |- ( Rel R -> ( R e. _V <-> `' R e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   `'ccnv 4619   Rel wrel 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-dm 4630  df-rn 4631

This theorem is referenced by: (None)