Theorem ressn 5144

Description: Restriction of a class to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ressn	|- ( A |` { B } ) = ( { B } X. ( A " { B } ) )

Proof of Theorem ressn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 4912	. 2 |- Rel ( A |` { B } )
2		relxp 4713	. 2 |- Rel ( { B } X. ( A " { B } ) )
3		ancom 264	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. { B } ) <-> ( x e. { B } /\ <. x , y >. e. A ) )
4		vex 2729	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2729	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	elimasn 4971	. . . . . 6 |- ( y e. ( A " { x } ) <-> <. x , y >. e. A )
7		elsni 3594	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { B } -> x = B )
8	7	sneqd 3589	. . . . . . . 8 |- ( x e. { B } -> { x } = { B } )
9	8	imaeq2d 4946	. . . . . . 7 |- ( x e. { B } -> ( A " { x } ) = ( A " { B } ) )
10	9	eleq2d 2236	. . . . . 6 |- ( x e. { B } -> ( y e. ( A " { x } ) <-> y e. ( A " { B } ) ) )
11	6, 10	bitr3id 193	. . . . 5 |- ( x e. { B } -> ( <. x , y >. e. A <-> y e. ( A " { B } ) ) )
12	11	pm5.32i 450	. . . 4 |- ( ( x e. { B } /\ <. x , y >. e. A ) <-> ( x e. { B } /\ y e. ( A " { B } ) ) )
13	3, 12	bitri 183	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. { B } ) <-> ( x e. { B } /\ y e. ( A " { B } ) ) )
14	5	opelres 4889	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( A |` { B } ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. { B } ) )
15		opelxp 4634	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( { B } X. ( A " { B } ) ) <-> ( x e. { B } /\ y e. ( A " { B } ) ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 211	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A |` { B } ) <-> <. x , y >. e. ( { B } X. ( A " { B } ) ) )
17	1, 2, 16	eqrelriiv 4698	1 |- ( A |` { B } ) = ( { B } X. ( A " { B } ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   {csn 3576   <.cop 3579   X. cxp 4602   |` cres 4606   "cima 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by: (None)