Theorem ressn 5126

Description: Restriction of a class to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ressn	|- ( A |` { B } ) = ( { B } X. ( A " { B } ) )

Proof of Theorem ressn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 4894	. 2 |- Rel ( A |` { B } )
2		relxp 4695	. 2 |- Rel ( { B } X. ( A " { B } ) )
3		ancom 264	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. { B } ) <-> ( x e. { B } /\ <. x , y >. e. A ) )
4		vex 2715	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2715	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	elimasn 4953	. . . . . 6 |- ( y e. ( A " { x } ) <-> <. x , y >. e. A )
7		elsni 3578	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { B } -> x = B )
8	7	sneqd 3573	. . . . . . . 8 |- ( x e. { B } -> { x } = { B } )
9	8	imaeq2d 4928	. . . . . . 7 |- ( x e. { B } -> ( A " { x } ) = ( A " { B } ) )
10	9	eleq2d 2227	. . . . . 6 |- ( x e. { B } -> ( y e. ( A " { x } ) <-> y e. ( A " { B } ) ) )
11	6, 10	bitr3id 193	. . . . 5 |- ( x e. { B } -> ( <. x , y >. e. A <-> y e. ( A " { B } ) ) )
12	11	pm5.32i 450	. . . 4 |- ( ( x e. { B } /\ <. x , y >. e. A ) <-> ( x e. { B } /\ y e. ( A " { B } ) ) )
13	3, 12	bitri 183	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. A /\ x e. { B } ) <-> ( x e. { B } /\ y e. ( A " { B } ) ) )
14	5	opelres 4871	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( A |` { B } ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ x e. { B } ) )
15		opelxp 4616	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( { B } X. ( A " { B } ) ) <-> ( x e. { B } /\ y e. ( A " { B } ) ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 211	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A |` { B } ) <-> <. x , y >. e. ( { B } X. ( A " { B } ) ) )
17	1, 2, 16	eqrelriiv 4680	1 |- ( A |` { B } ) = ( { B } X. ( A " { B } ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   {csn 3560   <.cop 3563   X. cxp 4584   |` cres 4588   "cima 4589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599

This theorem is referenced by: (None)