Theorem rmo3 3004

Description: Restricted at-most-one quantifier using explicit substitution. (Contributed by NM, 4-Nov-2012.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmo2.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
rmo3	|- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem rmo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 2425	. 2 |- ( E* x e. A ph <-> E* x ( x e. A /\ ph ) )
2		sban 1929	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( [ y / x ] x e. A /\ [ y / x ] ph ) )
3		clelsb3 2245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
4	3	anbi1i 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ y / x ] x e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
5	2, 4	bitri 183	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
6	5	anbi2i 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
7		an4 576	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
8		ancom 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ x e. A ) )
9	8	anbi1i 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
10	6, 7, 9	3bitri 205	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
11	10	imbi1i 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
12		impexp 261	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
13		impexp 261	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
14	11, 12, 13	3bitri 205	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
15	14	albii 1447	. . . . 5 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
16		df-ral 2422	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
17		r19.21v 2512	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr2i 207	. . . 4 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
19	18	albii 1447	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
20		nfv 1509	. . . . 5 |- F/ y x e. A
21		rmo2.1	. . . . 5 |- F/ y ph
22	20, 21	nfan 1545	. . . 4 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
23	22	mo3 2054	. . 3 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) )
24		df-ral 2422	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
25	19, 23, 24	3bitr4i 211	. 2 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
26	1, 25	bitri 183	1 |- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   F/wnf 1437   e. wcel 1481   [wsb 1736   E*wmo 2001   A.wral 2417   E*wrmo 2420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-ral 2422  df-rmo 2425

This theorem is referenced by:  disjiun  3932