Theorem rmo3f 2909

Description: Restricted "at most one" using explicit substitution. (Contributed by NM, 4-Nov-2012.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmo3f.1	|- F/_ x A
rmo3f.2	|- F/_ y A
rmo3f.3	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
rmo3f	|- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem rmo3f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 2443	. 2 |- ( E* x e. A ph <-> E* x ( x e. A /\ ph ) )
2		sban 1935	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( [ y / x ] x e. A /\ [ y / x ] ph ) )
3		rmo3f.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x A
4	3	clelsb3f 2303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
5	4	anbi1i 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ y / x ] x e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
6	2, 5	bitri 183	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
7	6	anbi2i 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
8		an4 576	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
9		ancom 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ x e. A ) )
10	9	anbi1i 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
11	7, 8, 10	3bitri 205	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
12	11	imbi1i 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
13		impexp 261	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
14		impexp 261	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
15	12, 13, 14	3bitri 205	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
16	15	albii 1450	. . . . 5 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
17		df-ral 2440	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
18		rmo3f.2	. . . . . . 7 |- F/_ y A
19	18	nfcri 2293	. . . . . 6 |- F/ y x e. A
20	19	r19.21 2533	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
21	16, 17, 20	3bitr2i 207	. . . 4 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
22	21	albii 1450	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
23		rmo3f.3	. . . . 5 |- F/ y ph
24	19, 23	nfan 1545	. . . 4 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
25	24	mo3 2060	. . 3 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) )
26		df-ral 2440	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
27	22, 25, 26	3bitr4i 211	. 2 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
28	1, 27	bitri 183	1 |- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1333   F/wnf 1440   [wsb 1742   E*wmo 2007   e. wcel 2128   F/_wnfc 2286   A.wral 2435   E*wrmo 2438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rmo 2443

This theorem is referenced by:  rmo4f  2910