Theorem rmo3f 2961

Description: Restricted "at most one" using explicit substitution. (Contributed by NM, 4-Nov-2012.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmo3f.1	|- F/_ x A
rmo3f.2	|- F/_ y A
rmo3f.3	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
rmo3f	|- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem rmo3f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 2483	. 2 |- ( E* x e. A ph <-> E* x ( x e. A /\ ph ) )
2		sban 1974	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( [ y / x ] x e. A /\ [ y / x ] ph ) )
3		rmo3f.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x A
4	3	clelsb1f 2343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
5	4	anbi1i 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ y / x ] x e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
6	2, 5	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
7	6	anbi2i 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
8		an4 586	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
9		ancom 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ x e. A ) )
10	9	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
11	7, 8, 10	3bitri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
12	11	imbi1i 238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
13		impexp 263	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
14		impexp 263	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
15	12, 13, 14	3bitri 206	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
16	15	albii 1484	. . . . 5 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
17		df-ral 2480	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
18		rmo3f.2	. . . . . . 7 |- F/_ y A
19	18	nfcri 2333	. . . . . 6 |- F/ y x e. A
20	19	r19.21 2573	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
21	16, 17, 20	3bitr2i 208	. . . 4 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
22	21	albii 1484	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
23		rmo3f.3	. . . . 5 |- F/ y ph
24	19, 23	nfan 1579	. . . 4 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
25	24	mo3 2099	. . 3 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) )
26		df-ral 2480	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
27	22, 25, 26	3bitr4i 212	. 2 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
28	1, 27	bitri 184	1 |- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   F/wnf 1474   [wsb 1776   E*wmo 2046   e. wcel 2167   F/_wnfc 2326   A.wral 2475   E*wrmo 2478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rmo 2483

This theorem is referenced by:  rmo4f  2962