Theorem reu8 2976

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmo4.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
reu8	|- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem reu8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmo4.1	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2	1	cbvreuv 2744	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! y e. A ps )
3		reu6 2969	. 2 |- ( E! y e. A ps <-> E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) )
4		dfbi2 388	. . . . 5 |- ( ( ps <-> y = x ) <-> ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
5	4	ralbii 2514	. . . 4 |- ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
6		r19.26 2634	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
7		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) )
8		equcom 1730	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y <-> y = x )
9	8	imbi2i 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ps -> x = y ) <-> ( ps -> y = x ) )
10	9	ralbii 2514	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) )
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) ) )
12		biimt 241	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ph <-> ( x e. A -> ph ) ) )
13		df-ral 2491	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( y = x -> ps ) <-> A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) )
14		bi2.04 248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
15	14	albii 1494	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
16		vex 2779	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
17		eleq1 2270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
18	17, 1	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ps ) ) )
19	18	bicomd 141	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
20	19	equcoms 1732	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
21	16, 20	ceqsalv 2807	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) <-> ( x e. A -> ph ) )
22	13, 15, 21	3bitrri 207	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> ph ) <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) )
23	12, 22	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( ph <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
24	11, 23	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
25	7, 24	bitrid 192	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
26	6, 25	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
27	5, 26	bitrid 192	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
28	27	rexbiia 2523	. 2 |- ( E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
29	2, 3, 28	3bitri 206	1 |- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   E!wreu 2488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-v 2778

This theorem is referenced by:  reu8nf  3087  updjud  7210  reumodprminv  12691  grpinveu  13485