Theorem reu8 2809

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rmo4.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
reu8	|- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem reu8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmo4.1	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2	1	cbvreuv 2592	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! y e. A ps )
3		reu6 2802	. 2 |- ( E! y e. A ps <-> E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) )
4		dfbi2 380	. . . . 5 |- ( ( ps <-> y = x ) <-> ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
5	4	ralbii 2384	. . . 4 |- ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
6		ancom 262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) )
7		equcom 1639	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y <-> y = x )
8	7	imbi2i 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ps -> x = y ) <-> ( ps -> y = x ) )
9	8	ralbii 2384	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) )
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) ) )
11		biimt 239	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ph <-> ( x e. A -> ph ) ) )
12		df-ral 2364	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( y = x -> ps ) <-> A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) )
13		bi2.04 246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
14	13	albii 1404	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
15		vex 2622	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
16		eleq1 2150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
17	16, 1	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ps ) ) )
18	17	bicomd 139	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
19	18	equcoms 1641	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
20	15, 19	ceqsalv 2649	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) <-> ( x e. A -> ph ) )
21	12, 14, 20	3bitrri 205	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> ph ) <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) )
22	11, 21	syl6bb 194	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( ph <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
23	10, 22	anbi12d 457	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
24	6, 23	syl5bb 190	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
25		r19.26 2497	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
26	24, 25	syl6rbbr 197	. . . 4 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
27	5, 26	syl5bb 190	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
28	27	rexbiia 2393	. 2 |- ( E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
29	2, 3, 28	3bitri 204	1 |- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1287   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   E!wreu 2361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621

This theorem is referenced by:  updjud  6752