Theorem rninxp 5047

Description: Range of the intersection with a cross product. (Contributed by NM, 17-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rninxp	|- ( ran ( C i^i ( A X. B ) ) = B <-> A. y e. B E. x e. A x C y )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C, y

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem rninxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3132	. 2 |- ( B C_ ran ( C |` A ) <-> A. y e. B y e. ran ( C |` A ) )
2		ssrnres 5046	. 2 |- ( B C_ ran ( C |` A ) <-> ran ( C i^i ( A X. B ) ) = B )
3		df-ima 4617	. . . . 5 |- ( C " A ) = ran ( C |` A )
4	3	eleq2i 2233	. . . 4 |- ( y e. ( C " A ) <-> y e. ran ( C |` A ) )
5		vex 2729	. . . . 5 |- y e. _V
6	5	elima 4951	. . . 4 |- ( y e. ( C " A ) <-> E. x e. A x C y )
7	4, 6	bitr3i 185	. . 3 |- ( y e. ran ( C |` A ) <-> E. x e. A x C y )
8	7	ralbii 2472	. 2 |- ( A. y e. B y e. ran ( C |` A ) <-> A. y e. B E. x e. A x C y )
9	1, 2, 8	3bitr3i 209	1 |- ( ran ( C i^i ( A X. B ) ) = B <-> A. y e. B E. x e. A x C y )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   i^i cin 3115   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   ran crn 4605   |` cres 4606   "cima 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by:  dminxp  5048  fncnv  5254