Theorem fncnv 5197

Description: Single-rootedness (see funcnv 5192) of a class cut down by a cross product. (Contributed by NM, 5-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fncnv	|- ( `' ( R i^i ( A X. B ) ) Fn B <-> A. y e. B E! x e. A x R y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y

Proof of Theorem fncnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fn 5134	. 2 |- ( `' ( R i^i ( A X. B ) ) Fn B <-> ( Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) /\ dom `' ( R i^i ( A X. B ) ) = B ) )
2		df-rn 4558	. . . 4 |- ran ( R i^i ( A X. B ) ) = dom `' ( R i^i ( A X. B ) )
3	2	eqeq1i 2148	. . 3 |- ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B <-> dom `' ( R i^i ( A X. B ) ) = B )
4	3	anbi2i 453	. 2 |- ( ( Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) /\ ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B ) <-> ( Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) /\ dom `' ( R i^i ( A X. B ) ) = B ) )
5		rninxp 4990	. . . . 5 |- ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B <-> A. y e. B E. x e. A x R y )
6	5	anbi1i 454	. . . 4 |- ( ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B /\ A. y e. B E* x e. A x R y ) <-> ( A. y e. B E. x e. A x R y /\ A. y e. B E* x e. A x R y ) )
7		funcnv 5192	. . . . . 6 |- ( Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) <-> A. y e. ran ( R i^i ( A X. B ) ) E* x x ( R i^i ( A X. B ) ) y )
8		raleq 2629	. . . . . . 7 |- ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B -> ( A. y e. ran ( R i^i ( A X. B ) ) E* x x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> A. y e. B E* x x ( R i^i ( A X. B ) ) y ) )
9		moanimv 2075	. . . . . . . . . 10 |- ( E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ x R y ) ) <-> ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ x R y ) ) )
10		brinxp2 4614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> ( x e. A /\ y e. B /\ x R y ) )
11		3anan12 975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ x R y ) <-> ( y e. B /\ ( x e. A /\ x R y ) ) )
12	10, 11	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> ( y e. B /\ ( x e. A /\ x R y ) ) )
13	12	mobii 2037	. . . . . . . . . 10 |- ( E* x x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ x R y ) ) )
14		df-rmo 2425	. . . . . . . . . . 11 |- ( E* x e. A x R y <-> E* x ( x e. A /\ x R y ) )
15	14	imbi2i 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. B -> E* x e. A x R y ) <-> ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ x R y ) ) )
16	9, 13, 15	3bitr4i 211	. . . . . . . . 9 |- ( E* x x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> ( y e. B -> E* x e. A x R y ) )
17		biimt 240	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( E* x e. A x R y <-> ( y e. B -> E* x e. A x R y ) ) )
18	16, 17	bitr4id 198	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( E* x x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> E* x e. A x R y ) )
19	18	ralbiia 2452	. . . . . . 7 |- ( A. y e. B E* x x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> A. y e. B E* x e. A x R y )
20	8, 19	syl6bb 195	. . . . . 6 |- ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B -> ( A. y e. ran ( R i^i ( A X. B ) ) E* x x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> A. y e. B E* x e. A x R y ) )
21	7, 20	syl5bb 191	. . . . 5 |- ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B -> ( Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) <-> A. y e. B E* x e. A x R y ) )
22	21	pm5.32i 450	. . . 4 |- ( ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B /\ Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) ) <-> ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B /\ A. y e. B E* x e. A x R y ) )
23		r19.26 2561	. . . 4 |- ( A. y e. B ( E. x e. A x R y /\ E* x e. A x R y ) <-> ( A. y e. B E. x e. A x R y /\ A. y e. B E* x e. A x R y ) )
24	6, 22, 23	3bitr4i 211	. . 3 |- ( ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B /\ Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) ) <-> A. y e. B ( E. x e. A x R y /\ E* x e. A x R y ) )
25		ancom 264	. . 3 |- ( ( Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) /\ ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B ) <-> ( ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B /\ Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) ) )
26		reu5 2646	. . . 4 |- ( E! x e. A x R y <-> ( E. x e. A x R y /\ E* x e. A x R y ) )
27	26	ralbii 2444	. . 3 |- ( A. y e. B E! x e. A x R y <-> A. y e. B ( E. x e. A x R y /\ E* x e. A x R y ) )
28	24, 25, 27	3bitr4i 211	. 2 |- ( ( Fun `' ( R i^i ( A X. B ) ) /\ ran ( R i^i ( A X. B ) ) = B ) <-> A. y e. B E! x e. A x R y )
29	1, 4, 28	3bitr2i 207	1 |- ( `' ( R i^i ( A X. B ) ) Fn B <-> A. y e. B E! x e. A x R y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   E*wmo 2001   A.wral 2417   E.wrex 2418   E!wreu 2419   E*wrmo 2420   i^i cin 3075   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   ran crn 4548   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133  df-fn 5134

This theorem is referenced by: (None)