Theorem smofvon2dm 6351

Description: The function values of a strictly monotone ordinal function are ordinals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smofvon2dm	|- ( ( Smo F /\ B e. dom F ) -> ( F ` B ) e. On )

Proof of Theorem smofvon2dm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsmo2 6342	. . 3 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
2	1	simp1bi 1014	. 2 |- ( Smo F -> F : dom F --> On )
3	2	ffvelcdmda 5694	1 |- ( ( Smo F /\ B e. dom F ) -> ( F ` B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   A.wral 2472   Ord word 4394   Oncon0 4395   dom cdm 4660   -->wf 5251   ` cfv 5255   Smo wsmo 6340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-smo 6341

This theorem is referenced by: (None)