Theorem ffvelcdmda 5672

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmd.1	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmda	|- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdmda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmd.1	. 2 |- ( ph -> F : A --> B )
2		ffvelcdm 5670	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   -->wf 5231   ` cfv 5235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243

This theorem is referenced by:  ffvelcdmd  5673  f1ocnvdm  5803  foeqcnvco  5812  f1oiso2  5849  offeq  6120  suppssof1  6124  ofco  6125  caofref  6128  caofinvl  6129  caofcom  6130  caofrss  6131  caoftrn  6132  smofvon2dm  6321  smofvon  6324  pw2f1odclem  6862  mapxpen  6876  xpmapenlem  6877  en2eqpr  6935  supisoex  7038  ordiso2  7064  omp1eomlem  7123  ctssdccl  7140  ctssdc  7142  enumctlemm  7143  enomnilem  7166  fodjuomnilemdc  7172  ismkvnex  7183  enmkvlem  7189  enwomnilem  7197  nninfwlporlemd  7200  nninfwlporlem  7201  nninfwlpoimlemginf  7204  cc3  7297  cauappcvgprlemladdru  7685  cauappcvgprlemladdrl  7686  caucvgprlemladdrl  7707  caucvgprprlemopu  7728  caucvgprprlemexbt  7735  caucvgprprlemexb  7736  caucvgsrlemcl  7818  caucvgsrlemfv  7820  caucvgsrlemcau  7822  caucvgsrlembound  7823  caucvgsrlemoffval  7825  caucvgsrlemofff  7826  caucvgsrlemoffgt1  7828  caucvgsrlemoffres  7829  caucvgsr  7831  axcaucvglemcl  7924  frecuzrdgfunlem  10450  monoord2  10508  seq3f1o  10535  seq3homo  10541  seqfeq3  10543  zfz1isolemiso  10851  seq3coll  10854  resqrexlemfp1  11050  resqrexlemover  11051  resqrexlemdec  11052  resqrexlemlo  11054  resqrexlemcalc1  11055  resqrexlemcalc2  11056  resqrexlemcalc3  11057  resqrexlemgt0  11061  resqrexlemsqa  11065  clim2ser  11377  clim2ser2  11378  isermulc2  11380  iserle  11382  climserle  11385  climrecvg1n  11388  climcvg1nlem  11389  summodclem3  11420  summodclem2a  11421  fsumgcl  11426  fsum3  11427  fsumf1o  11430  isumss  11431  fisumss  11432  fsumcl2lem  11438  fsumadd  11446  isumclim3  11463  isummulc2  11466  isumrecl  11469  isumadd  11471  fsummulc2  11488  iserabs  11515  cvgcmpub  11516  isumshft  11530  isumsplit  11531  mertensabs  11577  clim2prod  11579  clim2divap  11580  prodfap0  11585  prodfdivap  11587  prodmodclem3  11615  prodmodclem2a  11616  fprodseq  11623  fprodf1o  11628  prodssdc  11629  fprodssdc  11630  fprodmul  11631  efcj  11713  nn0seqcvgd  12073  algrp1  12078  alginv  12079  algcvg  12080  algcvga  12083  algfx  12084  eucalgcvga  12090  eulerthlem1  12259  eulerthlemh  12263  eulerthlemth  12264  pcmptcl  12374  pcmpt  12375  1arithlem4  12398  nninfdclemf1  12503  grpinvcl  12992  mhmmulg  13103  ghminv  13189  rhmdvdsr  13525  cnptoprest2  14200  lmss  14206  txcnmpt  14233  txlm  14239  lmcn2  14240  psmetxrge0  14292  metcnp  14472  climcncf  14531  negfcncf  14549  ivthdec  14582  dvcnp2cntop  14623  dvaddxxbr  14625  dvimulf  14630  dvcj  14633  dvfre  14634  lgscllem  14869  lgsfle1  14871  lgsval4a  14884  lgsneg  14886  lgsdir  14897  lgsdilem2  14898  lgsdi  14899  lgsne0  14900  nninfall  15220  nninffeq  15231  refeq  15238  trilpolemclim  15246  trilpolemcl  15247  trilpolemisumle  15248  trilpolemeq1  15250  iswomni0  15261