Theorem ffvelcdmda 5693

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelcdmd.1	|- ( ph -> F : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmda	|- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelcdmda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmd.1	. 2 |- ( ph -> F : A --> B )
2		ffvelcdm 5691	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   -->wf 5250   ` cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  ffvelcdmd  5694  f1ocnvdm  5824  foeqcnvco  5833  f1oiso2  5870  offeq  6144  suppssof1  6148  ofco  6149  caofref  6154  caofinvl  6155  caofcom  6156  caofrss  6157  caoftrn  6158  caofdig  6159  smofvon2dm  6349  smofvon  6352  pw2f1odclem  6890  mapxpen  6904  xpmapenlem  6905  en2eqpr  6963  supisoex  7068  ordiso2  7094  omp1eomlem  7153  ctssdccl  7170  ctssdc  7172  enumctlemm  7173  enomnilem  7197  fodjuomnilemdc  7203  ismkvnex  7214  enmkvlem  7220  enwomnilem  7228  nninfwlporlemd  7231  nninfwlporlem  7232  nninfwlpoimlemginf  7235  cc3  7328  cauappcvgprlemladdru  7716  cauappcvgprlemladdrl  7717  caucvgprlemladdrl  7738  caucvgprprlemopu  7759  caucvgprprlemexbt  7766  caucvgprprlemexb  7767  caucvgsrlemcl  7849  caucvgsrlemfv  7851  caucvgsrlemcau  7853  caucvgsrlembound  7854  caucvgsrlemoffval  7856  caucvgsrlemofff  7857  caucvgsrlemoffgt1  7859  caucvgsrlemoffres  7860  caucvgsr  7862  axcaucvglemcl  7955  ofnegsub  8981  frecuzrdgfunlem  10490  monoord2  10557  seq3f1o  10588  seqf1oglem2  10591  seqf1og  10592  seq3homo  10598  seqfeq3  10600  zfz1isolemiso  10910  seq3coll  10913  wrdsymbcl  10928  resqrexlemfp1  11153  resqrexlemover  11154  resqrexlemdec  11155  resqrexlemlo  11157  resqrexlemcalc1  11158  resqrexlemcalc2  11159  resqrexlemcalc3  11160  resqrexlemgt0  11164  resqrexlemsqa  11168  clim2ser  11480  clim2ser2  11481  isermulc2  11483  iserle  11485  climserle  11488  climrecvg1n  11491  climcvg1nlem  11492  summodclem3  11523  summodclem2a  11524  fsumgcl  11529  fsum3  11530  fsumf1o  11533  isumss  11534  fisumss  11535  fsumcl2lem  11541  fsumadd  11549  isumclim3  11566  isummulc2  11569  isumrecl  11572  isumadd  11574  fsummulc2  11591  iserabs  11618  cvgcmpub  11619  isumshft  11633  isumsplit  11634  mertensabs  11680  clim2prod  11682  clim2divap  11683  prodfap0  11688  prodfdivap  11690  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  fprodseq  11726  fprodf1o  11731  prodssdc  11732  fprodssdc  11733  fprodmul  11734  efcj  11816  nninfctlemfo  12177  nn0seqcvgd  12179  algrp1  12184  alginv  12185  algcvg  12186  algcvga  12189  algfx  12190  eucalgcvga  12196  eulerthlem1  12365  eulerthlemh  12369  eulerthlemth  12370  pcmptcl  12480  pcmpt  12481  1arithlem4  12504  nninfdclemf1  12609  gsumwsubmcl  13068  gsumwmhm  13070  grpinvcl  13120  mhmmulg  13233  ghminv  13320  gsumfzreidx  13407  gsumfzsubmcl  13408  gsumfzmptfidmadd  13409  gsumfzmhm  13413  rhmdvdsr  13671  cnptoprest2  14408  lmss  14414  txcnmpt  14441  txlm  14447  lmcn2  14448  psmetxrge0  14500  metcnp  14680  climcncf  14739  negfcncf  14760  ivthdec  14798  ivthreinc  14799  dvcnp2cntop  14848  dvaddxxbr  14850  dvimulf  14855  dvcj  14858  dvfre  14859  elply2  14881  plyaddlem1  14893  plymullem1  14894  lgscllem  15123  lgsfle1  15125  lgsval4a  15138  lgsneg  15140  lgsdir  15151  lgsdilem2  15152  lgsdi  15153  lgsne0  15154  nninfall  15499  nninffeq  15510  refeq  15518  trilpolemclim  15526  trilpolemcl  15527  trilpolemisumle  15528  trilpolemeq1  15530  iswomni0  15541