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Theorem dfsmo2 6290
Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsmo2  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem dfsmo2
StepHypRef Expression
1 df-smo 6289 . 2  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )
2 ralcom 2640 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )
3 impexp 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( y  e. 
dom  F  ->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )
4 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
5 ordtr1 4390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  F )  ->  y  e.  dom  F ) )
653impib 1201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  y  e.  x  /\  x  e.  dom  F )  ->  y  e.  dom  F )
763com23 1209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  F
)
8 simp3 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
97, 8jca 306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
) )
1093expia 1205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( y  e.  x  ->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x ) ) )
114, 10impbid2 143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  <->  y  e.  x ) )
1211imbi1d 231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
133, 12bitr3id 194 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( y  e.  dom  F  -> 
( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
1413ralbidv2 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )  <->  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1514ralbidva 2473 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( A. x  e.  dom  F A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
162, 15bitrid 192 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1716pm5.32i 454 . . . 4  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( Ord  dom  F  /\  A. x  e. 
dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1817anbi2i 457 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. y  e. 
dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )  <-> 
( F : dom  F --> On  /\  ( Ord 
dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
19 3anass 982 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) ) ) )
20 3anass 982 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
2118, 19, 203bitr4i 212 . 2  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
221, 21bitri 184 1  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    e. wcel 2148   A.wral 2455   Ord word 4364   Oncon0 4365   dom cdm 4628   -->wf 5214   ` cfv 5218   Smo wsmo 6288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-uni 3812  df-tr 4104  df-iord 4368  df-smo 6289
This theorem is referenced by:  issmo2  6292  smores2  6297  smofvon2dm  6299
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