Theorem dfsmo2 6255

Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfsmo2	|- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable group:   x, F, y

Proof of Theorem dfsmo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-smo 6254	. 2 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
2		ralcom 2629	. . . . . 6 |- ( A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
3		impexp 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( y e. dom F -> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
4		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> y e. x )
5		ordtr1 4366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Ord dom F -> ( ( y e. x /\ x e. dom F ) -> y e. dom F ) )
6	5	3impib 1191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord dom F /\ y e. x /\ x e. dom F ) -> y e. dom F )
7	6	3com23 1199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> y e. dom F )
8		simp3 989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> y e. x )
9	7, 8	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> ( y e. dom F /\ y e. x ) )
10	9	3expia 1195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( y e. x -> ( y e. dom F /\ y e. x ) ) )
11	4, 10	impbid2 142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( y e. dom F /\ y e. x ) <-> y e. x ) )
12	11	imbi1d 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
13	3, 12	bitr3id 193	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( y e. dom F -> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
14	13	ralbidv2 2468	. . . . . . 7 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
15	14	ralbidva 2462	. . . . . 6 |- ( Ord dom F -> ( A. x e. dom F A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
16	2, 15	syl5bb 191	. . . . 5 |- ( Ord dom F -> ( A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
17	16	pm5.32i 450	. . . 4 |- ( ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
18	17	anbi2i 453	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
19		3anass 972	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) ) )
20		3anass 972	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 211	. 2 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
22	1, 21	bitri 183	1 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   A.wral 2444   Ord word 4340   Oncon0 4341   dom cdm 4604   -->wf 5184   ` cfv 5188   Smo wsmo 6253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-smo 6254

This theorem is referenced by:  issmo2  6257  smores2  6262  smofvon2dm  6264