Theorem dfsmo2 6340

Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfsmo2	|- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable group:   x, F, y

Proof of Theorem dfsmo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-smo 6339	. 2 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
2		ralcom 2657	. . . . . 6 |- ( A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
3		impexp 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( y e. dom F -> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
4		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> y e. x )
5		ordtr1 4419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Ord dom F -> ( ( y e. x /\ x e. dom F ) -> y e. dom F ) )
6	5	3impib 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord dom F /\ y e. x /\ x e. dom F ) -> y e. dom F )
7	6	3com23 1211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> y e. dom F )
8		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> y e. x )
9	7, 8	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> ( y e. dom F /\ y e. x ) )
10	9	3expia 1207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( y e. x -> ( y e. dom F /\ y e. x ) ) )
11	4, 10	impbid2 143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( y e. dom F /\ y e. x ) <-> y e. x ) )
12	11	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
13	3, 12	bitr3id 194	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( y e. dom F -> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
14	13	ralbidv2 2496	. . . . . . 7 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
15	14	ralbidva 2490	. . . . . 6 |- ( Ord dom F -> ( A. x e. dom F A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
16	2, 15	bitrid 192	. . . . 5 |- ( Ord dom F -> ( A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
17	16	pm5.32i 454	. . . 4 |- ( ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
18	17	anbi2i 457	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
19		3anass 984	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) ) )
20		3anass 984	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 212	. 2 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
22	1, 21	bitri 184	1 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   A.wral 2472   Ord word 4393   Oncon0 4394   dom cdm 4659   -->wf 5250   ` cfv 5254   Smo wsmo 6338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-smo 6339

This theorem is referenced by:  issmo2  6342  smores2  6347  smofvon2dm  6349