Theorem dfsmo2 6270

Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfsmo2	|- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )

Distinct variable group:   x, F, y

Proof of Theorem dfsmo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-smo 6269	. 2 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
2		ralcom 2634	. . . . . 6 |- ( A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
3		impexp 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( y e. dom F -> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
4		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> y e. x )
5		ordtr1 4374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Ord dom F -> ( ( y e. x /\ x e. dom F ) -> y e. dom F ) )
6	5	3impib 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord dom F /\ y e. x /\ x e. dom F ) -> y e. dom F )
7	6	3com23 1205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> y e. dom F )
8		simp3 995	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> y e. x )
9	7, 8	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F /\ y e. x ) -> ( y e. dom F /\ y e. x ) )
10	9	3expia 1201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( y e. x -> ( y e. dom F /\ y e. x ) ) )
11	4, 10	impbid2 142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( y e. dom F /\ y e. x ) <-> y e. x ) )
12	11	imbi1d 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( ( y e. dom F /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
13	3, 12	bitr3id 193	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( ( y e. dom F -> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
14	13	ralbidv2 2473	. . . . . . 7 |- ( ( Ord dom F /\ x e. dom F ) -> ( A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
15	14	ralbidva 2467	. . . . . 6 |- ( Ord dom F -> ( A. x e. dom F A. y e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
16	2, 15	bitrid 191	. . . . 5 |- ( Ord dom F -> ( A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
17	16	pm5.32i 452	. . . 4 |- ( ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
18	17	anbi2i 455	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
19		3anass 978	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) ) )
20		3anass 978	. . 3 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ ( Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 211	. 2 |- ( ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. y e. dom F A. x e. dom F ( y e. x -> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
22	1, 21	bitri 183	1 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 974   e. wcel 2142   A.wral 2449   Ord word 4348   Oncon0 4349   dom cdm 4612   -->wf 5196   ` cfv 5200   Smo wsmo 6268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-ext 2153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ral 2454  df-v 2733  df-in 3128  df-ss 3135  df-uni 3798  df-tr 4089  df-iord 4352  df-smo 6269

This theorem is referenced by:  issmo2  6272  smores2  6277  smofvon2dm  6279