Theorem sucelon 4487

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	|- ( A e. On <-> suc A e. On )

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4485	. 2 |- ( A e. On -> suc A e. On )
2		eloni 4360	. . 3 |- ( suc A e. On -> Ord suc A )
3		elex 2741	. . . . 5 |- ( suc A e. On -> suc A e. _V )
4		sucexb 4481	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
5	3, 4	sylibr 133	. . . 4 |- ( suc A e. On -> A e. _V )
6		elong 4358	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord A ) )
7		ordsucg 4486	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
8	6, 7	bitrd 187	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
9	5, 8	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. On -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
10	2, 9	mpbird 166	. 2 |- ( suc A e. On -> A e. On )
11	1, 10	impbii 125	1 |- ( A e. On <-> suc A e. On )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   Ord word 4347   Oncon0 4348   suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  onsucmin  4491  onsucuni2  4548