Theorem sucelon 4286

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	|- ( A e. On <-> suc A e. On )

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4284	. 2 |- ( A e. On -> suc A e. On )
2		eloni 4169	. . 3 |- ( suc A e. On -> Ord suc A )
3		elex 2623	. . . . 5 |- ( suc A e. On -> suc A e. _V )
4		sucexb 4280	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
5	3, 4	sylibr 132	. . . 4 |- ( suc A e. On -> A e. _V )
6		elong 4167	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord A ) )
7		ordsucg 4285	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
8	6, 7	bitrd 186	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
9	5, 8	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. On -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
10	2, 9	mpbird 165	. 2 |- ( suc A e. On -> A e. On )
11	1, 10	impbii 124	1 |- ( A e. On <-> suc A e. On )

Syntax hints:   <-> wb 103   e. wcel 1436   _Vcvv 2614   Ord word 4156   Oncon0 4157   suc csuc 4159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-uni 3631  df-tr 3905  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165

This theorem is referenced by:  onsucmin  4290  onsucuni2  4346