Theorem sucelon 4480

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	|- ( A e. On <-> suc A e. On )

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4478	. 2 |- ( A e. On -> suc A e. On )
2		eloni 4353	. . 3 |- ( suc A e. On -> Ord suc A )
3		elex 2737	. . . . 5 |- ( suc A e. On -> suc A e. _V )
4		sucexb 4474	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
5	3, 4	sylibr 133	. . . 4 |- ( suc A e. On -> A e. _V )
6		elong 4351	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord A ) )
7		ordsucg 4479	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
8	6, 7	bitrd 187	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
9	5, 8	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. On -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
10	2, 9	mpbird 166	. 2 |- ( suc A e. On -> A e. On )
11	1, 10	impbii 125	1 |- ( A e. On <-> suc A e. On )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   Ord word 4340   Oncon0 4341   suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  onsucmin  4484  onsucuni2  4541