Theorem sucelon 4318

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	|- ( A e. On <-> suc A e. On )

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4316	. 2 |- ( A e. On -> suc A e. On )
2		eloni 4200	. . 3 |- ( suc A e. On -> Ord suc A )
3		elex 2630	. . . . 5 |- ( suc A e. On -> suc A e. _V )
4		sucexb 4312	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
5	3, 4	sylibr 132	. . . 4 |- ( suc A e. On -> A e. _V )
6		elong 4198	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord A ) )
7		ordsucg 4317	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
8	6, 7	bitrd 186	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
9	5, 8	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. On -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
10	2, 9	mpbird 165	. 2 |- ( suc A e. On -> A e. On )
11	1, 10	impbii 124	1 |- ( A e. On <-> suc A e. On )

Syntax hints:   <-> wb 103   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   Ord word 4187   Oncon0 4188   suc csuc 4190

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-uni 3652  df-tr 3935  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196

This theorem is referenced by:  onsucmin  4322  onsucuni2  4378