Theorem ordsucss 4497

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4372	. 2 |- ( Ord B -> Tr B )
2		trss 4105	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
3		snssi 3733	. . . . . 6 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> { A } C_ B ) )
5	2, 4	jcad 307	. . . 4 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A C_ B /\ { A } C_ B ) ) )
6		unss 3307	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ { A } C_ B ) <-> ( A u. { A } ) C_ B )
7	5, 6	syl6ib 161	. . 3 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A u. { A } ) C_ B ) )
8		df-suc 4365	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
9	8	sseq1i 3179	. . 3 |- ( suc A C_ B <-> ( A u. { A } ) C_ B )
10	7, 9	syl6ibr 162	. 2 |- ( Tr B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
11	1, 10	syl 14	1 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2146   u. cun 3125   C_ wss 3127   {csn 3589   Tr wtr 4096   Ord word 4356   suc csuc 4359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-sn 3595  df-uni 3806  df-tr 4097  df-iord 4360  df-suc 4365

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4498  tfrlemibfn  6319  tfr1onlembfn  6335  tfrcllembfn  6348  sucinc2  6437  nndomo  6854  prarloclemn  7473  ennnfonelemhom  12383  ennnfonelemrn  12387