Theorem ordsucss 4488

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4363	. 2 |- ( Ord B -> Tr B )
2		trss 4096	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
3		snssi 3724	. . . . . 6 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> { A } C_ B ) )
5	2, 4	jcad 305	. . . 4 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A C_ B /\ { A } C_ B ) ) )
6		unss 3301	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ { A } C_ B ) <-> ( A u. { A } ) C_ B )
7	5, 6	syl6ib 160	. . 3 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A u. { A } ) C_ B ) )
8		df-suc 4356	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
9	8	sseq1i 3173	. . 3 |- ( suc A C_ B <-> ( A u. { A } ) C_ B )
10	7, 9	syl6ibr 161	. 2 |- ( Tr B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
11	1, 10	syl 14	1 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   u. cun 3119   C_ wss 3121   {csn 3583   Tr wtr 4087   Ord word 4347   suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4489  tfrlemibfn  6307  tfr1onlembfn  6323  tfrcllembfn  6336  sucinc2  6425  nndomo  6842  prarloclemn  7461  ennnfonelemhom  12370  ennnfonelemrn  12374