Theorem ordsucss 4481

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4356	. 2 |- ( Ord B -> Tr B )
2		trss 4089	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
3		snssi 3717	. . . . . 6 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> { A } C_ B ) )
5	2, 4	jcad 305	. . . 4 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A C_ B /\ { A } C_ B ) ) )
6		unss 3296	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ { A } C_ B ) <-> ( A u. { A } ) C_ B )
7	5, 6	syl6ib 160	. . 3 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A u. { A } ) C_ B ) )
8		df-suc 4349	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
9	8	sseq1i 3168	. . 3 |- ( suc A C_ B <-> ( A u. { A } ) C_ B )
10	7, 9	syl6ibr 161	. 2 |- ( Tr B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
11	1, 10	syl 14	1 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   u. cun 3114   C_ wss 3116   {csn 3576   Tr wtr 4080   Ord word 4340   suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4482  tfrlemibfn  6296  tfr1onlembfn  6312  tfrcllembfn  6325  sucinc2  6414  nndomo  6830  prarloclemn  7440  ennnfonelemhom  12348  ennnfonelemrn  12352