Theorem ordsucss 4505

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4380	. 2 |- ( Ord B -> Tr B )
2		trss 4112	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
3		snssi 3738	. . . . . 6 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> { A } C_ B ) )
5	2, 4	jcad 307	. . . 4 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A C_ B /\ { A } C_ B ) ) )
6		unss 3311	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ { A } C_ B ) <-> ( A u. { A } ) C_ B )
7	5, 6	imbitrdi 161	. . 3 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A u. { A } ) C_ B ) )
8		df-suc 4373	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
9	8	sseq1i 3183	. . 3 |- ( suc A C_ B <-> ( A u. { A } ) C_ B )
10	7, 9	imbitrrdi 162	. 2 |- ( Tr B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
11	1, 10	syl 14	1 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   u. cun 3129   C_ wss 3131   {csn 3594   Tr wtr 4103   Ord word 4364   suc csuc 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-uni 3812  df-tr 4104  df-iord 4368  df-suc 4373

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4506  tfrlemibfn  6331  tfr1onlembfn  6347  tfrcllembfn  6360  sucinc2  6449  nndomo  6866  prarloclemn  7500  ennnfonelemhom  12418  ennnfonelemrn  12422